1. Vamos primeiro analisar a sequência dada: \(x_1 = 1\) e \(x_{n+1} = x_n^2 + a n + 1, n \geq 1\). 2. O enunciado pede para encontrar o número inteiro mais próximo a essa sequência, mas está incompleto sem o valor de \(a\). 3. Portanto, não é possível determinar o número inteiro mais próximo sem mais informações sobre \(a\) ou qualquer termo específico da sequência. 4. Agora, para o segundo problema: Dado \(a_1 > a_2 > \cdots > a_m > 0\) tais que \(a_1 + a_2 + \cdots + a_m = 1\), devemos mostrar que \[ a_1 + 3a_2 + 5a_3 + \cdots + (2m-1)a_m^2 = ? \] 5. A expressão está incompleta no enunciado, faltando o que deve ser demonstrado. 6. Sem o enunciado completo, não é possível prosseguir com uma demonstração rigorosa. Por favor, revise e envie o problema completo para que eu possa ajudar adequadamente.