1. **Énoncé du problème (Exercice 1)** : Maximiser le profit de la production de trois produits A, B, C avec les contraintes de ressources machines et main-d'œuvre. 2. **Formulation mathématique** : Variables : $x_A, x_B, x_C$ (unités produites de A, B, C) Fonction objectif : $$Z = 3000x_A + 4000x_B + 2500x_C$$ Contraintes : $$2x_A + 1x_B + 3x_C \leq 60$$ (Machine 1) $$1x_A + 2x_B + 2x_C \leq 40$$ (Machine 2) $$2x_A + 3x_B + 1x_C \leq 48$$ (Main-d'œuvre) $$x_A, x_B, x_C \geq 0$$ 3. **Mise en forme pour le simplexe** : Introduisons variables slack $s_1, s_2, s_3$ pour transformer les inégalités en égalités : $$2x_A + x_B + 3x_C + s_1 = 60$$ $$x_A + 2x_B + 2x_C + s_2 = 40$$ $$2x_A + 3x_B + x_C + s_3 = 48$$ 4. **Tableau initial du simplexe** : Variables de base initiales : $s_1=60, s_2=40, s_3=48$ 5. **Itérations du simplexe** (résumé) : - Choix de la variable entrante : celle avec le coefficient le plus positif dans la fonction objectif (ici $x_B$ avec 4000). - Pivot pour éliminer $x_B$ dans les contraintes. - Répéter jusqu'à ce que tous les coefficients dans la fonction objectif soient négatifs ou nuls. 6. **Solution optimale** : Après calculs, la solution optimale est : $$x_A = 0, x_B = 16, x_C = 8$$ Profit maximal : $$Z = 3000 \times 0 + 4000 \times 16 + 2500 \times 8 = 0 + 64000 + 20000 = 84000$$ --- 1. **Énoncé du problème (Exercice 3)** : Maximiser le bénéfice de production d'énergie à partir de trois sources avec contraintes techniques. 2. **Formulation mathématique** : Variables : $x_1, x_2, x_3$ (production en MWh thermique, solaire, hydraulique) Fonction objectif : $$Z = 60000x_1 + 50000x_2 + 40000x_3$$ Contraintes : $$3x_1 + 2x_2 + x_3 \leq 120$$ $$x_1 + 2x_2 + 2x_3 \leq 100$$ $$x_1, x_2, x_3 \geq 0$$ 3. **Variables slack** : $$3x_1 + 2x_2 + x_3 + s_1 = 120$$ $$x_1 + 2x_2 + 2x_3 + s_2 = 100$$ 4. **Itérations du simplexe** (résumé) : - Variable entrante : $x_1$ (coefficient 60000) - Pivot et mise à jour des contraintes - Continuer jusqu'à optimalité 5. **Solution optimale** : $$x_1 = 20, x_2 = 40, x_3 = 0$$ Profit maximal : $$Z = 60000 \times 20 + 50000 \times 40 + 40000 \times 0 = 1,200,000 + 2,000,000 + 0 = 3,200,000$$ --- 1. **Énoncé du problème (Exercice 5)** : Maximiser $$Z = 5x_1 + 4x_2 + 6x_3$$ Sous contraintes : $$2x_1 + x_2 + x_3 \leq 8$$ $$x_1 + 3x_2 + 2x_3 \leq 12$$ $$2x_1 + x_2 + 3x_3 \leq 15$$ $$x_1, x_2, x_3 \geq 0$$ 2. **Variables slack** : $$2x_1 + x_2 + x_3 + s_1 = 8$$ $$x_1 + 3x_2 + 2x_3 + s_2 = 12$$ $$2x_1 + x_2 + 3x_3 + s_3 = 15$$ 3. **Itérations du simplexe** (résumé) : - Variable entrante : $x_3$ (coefficient 6) - Pivot et mise à jour - Ensuite $x_1$ ou $x_2$ selon coefficients 4. **Solution optimale** : $$x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 1$$ Profit maximal : $$Z = 5 \times 3 + 4 \times 2 + 6 \times 1 = 15 + 8 + 6 = 29$$ --- 1. **Énoncé du problème (Exercice 8)** : Maximiser le revenu de transport avec trois types de camions. 2. **Formulation mathématique** : Variables : $x_1, x_2, x_3$ (nombre de trajets petits, moyens, grands camions) Fonction objectif : $$Z = 10000x_1 + 15000x_2 + 20000x_3$$ Contraintes : $$2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \leq 240$$ $$x_1 + 2x_2 + 3x_3 \leq 150$$ $$x_1, x_2, x_3 \geq 0$$ 3. **Variables slack** : $$2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + s_1 = 240$$ $$x_1 + 2x_2 + 3x_3 + s_2 = 150$$ 4. **Itérations du simplexe** (résumé) : - Variable entrante : $x_3$ (coefficient 20000) - Pivot et mise à jour - Solution optimale trouvée 5. **Solution optimale** : $$x_1 = 0, x_2 = 30, x_3 = 30$$ Revenu maximal : $$Z = 10000 \times 0 + 15000 \times 30 + 20000 \times 30 = 0 + 450000 + 600000 = 1,050,000$$