1. Énoncé du problème: Maximiser $z(x)=4000x_1+2000x_2$ sous les contraintes $7x_1+3x_2\le 200$, $4x_1+4x_2\le 150$, $x_1\ge 0$, $x_2\ge 0$. 2. Méthode: Nous utilisons la méthode algébrique en examinant les sommets du domaine faisable et en évaluant la fonction objectif en chaque sommet. 3. Calcul des sommets faisables: 3.1 Point O: $x_1=0,\ x_2=0$. 3.2 Intersection avec $x_2=0$: les contraintes donnent $7x_1\le 200$ et $4x_1\le 150$, donc $x_1\le \min\{\frac{200}{7},37.5\}$ et le sommet actif est $x_1=\frac{200}{7},\ x_2=0$. 3.3 Intersection avec $x_1=0$: les contraintes donnent $3x_2\le 200$ et $4x_2\le 150$, donc $x_2\le \min\{\frac{200}{3},37.5\}$ et le sommet actif est $x_1=0,\ x_2=37.5$. 3.4 Intersection des deux droites: résoudre le système $7x_1+3x_2=200$ et $4x_1+4x_2=150$. Diviser la deuxième équation par 4 pour obtenir $x_1+x_2=37.5$. Substituer dans la première: $7x_1+3(37.5-x_1)=200$. Simplifier: $4x_1=87.5$. Donc $x_1=\frac{175}{8}$. Ensuite $x_2=37.5-\frac{175}{8}=\frac{125}{8}$. Le sommet d'intersection est $x_1=\frac{175}{8},\ x_2=\frac{125}{8}$. 4. Évaluation de la fonction objectif aux sommets: Pour O: $z(0,0)=0$. Pour A (axe $x_2=0$): $z=4000\cdot\frac{200}{7}=\frac{800000}{7}\approx114285.714$. Pour B (axe $x_1=0$): $z=2000\cdot 37.5=75000$. Pour le point d'intersection C: $z=4000\cdot\frac{175}{8}+2000\cdot\frac{125}{8}=\frac{950000}{8}=118750$. 5. Conclusion: Le maximum est $z_{max}=118750$ atteint au point $x_1=\frac{175}{8},\ x_2=\frac{125}{8}$.