1. Problema: Verificar el valor de verdad de proposiciones con un conjunto dado. 1.1- \( \forall x \in A; 7x + 6 > 35 \) Paso 1: Evaluar la expresión para cada \( x \in A = \{3,6,9,12,15\} \). - Para \( x=3 \), \(7(3)+6=21+6=27 \), que no es mayor que 35.\ - Ya que no se cumple para \( x=3 \), la proposición universal es falsa. 1.2- \( \exists x \in A : x^2 + 5x > 4x \) Paso 1: Simplificar la desigualdad: \( x^2 + 5x > 4x \implies x^2 + 5x - 4x > 0 \implies x^2 + x > 0 \) Paso 2: Evaluar \( x^2 + x > 0 \) para \( x \in A \). - Para \( x=3 \), \( 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 > 0 \) verdadero. Paso 3: Como existe al menos un \( x \) que cumple la condición, la proposición es verdadera. --- 2. Problema: Negar proposiciones usando las leyes de Morgan. 2.1- "Cuba es una isla o Santo Domingo es un país de Europa." Paso 1: La proposición es: \( p \lor q \). Paso 2: Negación con leyes de Morgan: \( \neg (p \lor q) = \neg p \land \neg q \). Negación: "Cuba no es una isla y Santo Domingo no es un país de Europa." 2.2- "Hoy está lloviendo y hace mucho frío." Paso 1: La proposición es \( r \land s \). Paso 2: Negación: \( \neg (r \land s) = \neg r \lor \neg s \). Negación: "Hoy no está lloviendo o no hace mucho frío." --- 3. Problema: Escribir negaciones para enunciados con cuantificadores. 3.1- "Ningún estudiante ausente tendrá otra oportunidad de aprobar." Paso 1: Proposición original: \( \forall x (\text{estudiante ausente}(x) \rightarrow \neg \text{oportunidad de aprobar}(x)) \). Paso 2: Negación: \( \exists x (\text{estudiante ausente}(x) \land \text{oportunidad de aprobar}(x)) \). En palabras: "Existe al menos un estudiante ausente que tendrá otra oportunidad de aprobar." 3.2- "Todas las personas son inteligentes." Paso 1: Proposición original: \( \forall x (\text{persona}(x) \rightarrow \text{inteligente}(x)) \). Paso 2: Negación: \( \exists x (\text{persona}(x) \land \neg \text{inteligente}(x)) \). En palabras: "Existe al menos una persona que no es inteligente."