1. **Énoncé du problème :** Maximiser la fonction objectif $$Z = 4x_1 + 3x_2 + 6x_3$$ sous les contraintes : $$\begin{cases} 2x_1 + x_2 + x_3 \leq 50 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 \leq 60 \\ x_1, x_2, x_3 \geq 0 \end{cases}$$ 2. **Forme standard :** On introduit les variables d'écart $$e_1, e_2$$ pour transformer les inégalités en égalités : $$\begin{cases} 2x_1 + x_2 + x_3 + e_1 = 50 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + e_2 = 60 \\ e_1, e_2 \geq 0 \end{cases}$$ 3. **Choix du pivot :** On regarde la colonne de la variable avec le coefficient le plus grand dans la fonction objectif, ici $$x_3$$ avec coefficient 6. On calcule les rapports $$\frac{50}{1} = 50$$ et $$\frac{60}{3} = 20$$ pour déterminer la ligne pivot. Puisque $$20 < 50$$, le pivot est à l'intersection de la ligne $$e_2$$ et de la colonne $$x_3$$. 4. **Mise à jour de la table simplex :** On divise la ligne pivot par le pivot (ici 3) : $$e_2 : \frac{1}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2 + 1x_3 + 0e_1 + \frac{1}{3}e_2 = 20$$ On met à jour la ligne $$e_1$$ en soustrayant $$\frac{1}{3}$$ fois la ligne pivot : $$e_1 = e_1 - \frac{1}{3} \times e_2$$ ce qui donne : $$\begin{cases} x_1 : 2 - \frac{1}{3} \times 1 = \frac{5}{3} \\ x_2 : 1 - \frac{1}{3} \times 2 = \frac{1}{3} \\ x_3 : 1 - \frac{1}{3} \times 3 = 0 \\ e_1 : 1 - \frac{1}{3} \times 0 = 1 \\ e_2 : 0 - \frac{1}{3} \times 1 = -\frac{1}{3} \\ R : 50 - \frac{1}{3} \times 60 = 30 \end{cases}$$ La ligne $$z$$ est mise à jour en soustrayant 6 fois la ligne pivot : $$z = z - 6 \times e_2$$ ce qui donne : $$\begin{cases} x_1 : 4 - 6 \times \frac{1}{3} = 2 \\ x_2 : 3 - 6 \times \frac{2}{3} = -1 \\ x_3 : 6 - 6 \times 1 = 0 \\ e_1 : 0 - 6 \times 0 = 0 \\ e_2 : 0 - 6 \times \frac{1}{3} = -2 \\ R : 0 - 6 \times 20 = -120 \end{cases}$$ 5. **Division de la ligne pivot par le pivot (1) :** La ligne pivot est déjà divisée par 1, donc elle reste : $$e_2 : \frac{1}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2 + x_3 + 0e_1 + \frac{1}{3}e_2 = 20$$ 6. **Interprétation finale :** Les variables de base sont maintenant $$x_3$$ et $$e_1$$ avec les valeurs : $$x_3 = 20, \quad e_1 = 30$$ La valeur maximale de la fonction objectif est : $$Z = 4x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 120$$ **Résumé :** - Pivot choisi à la ligne $$e_2$$ et colonne $$x_3$$. - Mise à jour des coefficients selon la méthode du simplexe. - Solution optimale trouvée avec $$x_3 = 20$$ et $$Z = 120$$.