1. **Énoncé du problème :** Une entreprise produit deux types d’objets, A et B, avec des contraintes sur la main-d’œuvre et la matière première. Il faut maximiser le bénéfice total. 2. **Variables :** Soit $x$ le nombre d’unités de A produites, $y$ le nombre d’unités de B produites. 3. **Contraintes :** - Main-d’œuvre : chaque unité de A nécessite 2 h, chaque unité de B nécessite 4 h, total disponible 40 h. - Matière première : chaque unité de A nécessite 3 unités, chaque unité de B nécessite 2 unités, total disponible 60 unités. 4. **Formulation du programme linéaire :** Maximiser le bénéfice total : $$Z = 6000x + 4000y$$ Sous les contraintes : $$2x + 4y \leq 40$$ $$3x + 2y \leq 60$$ $$x \geq 0, y \geq 0$$ 5. **Représentation graphique :** Tracer les droites des contraintes : - $2x + 4y = 40$ soit $y = \frac{40 - 2x}{4} = 10 - 0.5x$ - $3x + 2y = 60$ soit $y = \frac{60 - 3x}{2} = 30 - 1.5x$ La région réalisable est l’intersection des demi-plans définis par ces inégalités et $x,y \geq 0$. 6. **Trouver les points d’intersection :** - Intersection des contraintes : $$\begin{cases} 2x + 4y = 40 \\ 3x + 2y = 60 \end{cases}$$ Multiplier la deuxième par 2 : $$6x + 4y = 120$$ Soustraire la première : $$6x + 4y - (2x + 4y) = 120 - 40 \Rightarrow 4x = 80 \Rightarrow x = 20$$ Puis : $$2(20) + 4y = 40 \Rightarrow 40 + 4y = 40 \Rightarrow 4y = 0 \Rightarrow y = 0$$ 7. **Points aux coins de la région réalisable :** - $(0,0)$ - $(0,10)$ (intersection avec $y$-axe de $2x+4y=40$) - $(20,0)$ (intersection des contraintes) - $(0,30)$ (intersection avec $y$-axe de $3x+2y=60$) Mais $y=30$ n’est pas dans la région réalisable car $2x+4y \leq 40$ serait $2(0)+4(30)=120 > 40$ donc hors région. 8. **Calcul du bénéfice aux sommets valides :** - $Z(0,0) = 0$ - $Z(0,10) = 6000*0 + 4000*10 = 40000$ - $Z(20,0) = 6000*20 + 4000*0 = 120000$ 9. **Conclusion :** La solution optimale est de produire 20 unités de A et 0 unité de B, avec un bénéfice maximal de 120000.