1. **Énoncé du problème :** Minimiser $Z = 6x_1 - x_2 - 6x_3$ sous les contraintes : $$\begin{cases} 3x_1 + x_2 + 2x_3 \geq -2 \\ 2x_1 - x_3 \geq 3 \\ x_1, x_2, x_3 \geq 0 \end{cases}$$ 2. **Formulation du problème dual :** Pour appliquer la méthode duale, on écrit le problème dual associé. Le primal est un problème de minimisation avec contraintes $\geq$. Le dual sera un problème de maximisation : - Variables duales $y_1, y_2 \geq 0$ associées aux contraintes. - Fonction objectif dual : $$\max W = -2y_1 + 3y_2$$ - Contraintes duales : $$\begin{cases} 3y_1 + 2y_2 \leq 6 \\ y_1 \leq -1 \\ 2y_1 - y_2 \leq -6 \end{cases}$$ 3. **Analyse des contraintes duales :** La contrainte $y_1 \leq -1$ est incompatible avec $y_1 \geq 0$ (car duale variables sont $\geq 0$), donc il faut revoir le signe des variables duales ou reformuler. 4. **Reformulation correcte :** Les contraintes primal sont $\geq$, donc les variables duales $y_i \leq 0$ (car dual variables ont signe opposé pour contraintes $\geq$). Donc, $y_1, y_2 \leq 0$. 5. **Problème dual corrigé :** Maximiser $$W = -2y_1 + 3y_2$$ Sous $$\begin{cases} 3y_1 + 2y_2 \leq 6 \\ y_1 \leq -1 \\ 2y_1 - y_2 \leq -6 \\ y_1, y_2 \leq 0 \end{cases}$$ 6. **Méthode duale simplexe :** - On commence par une solution duale faisable (respectant les contraintes duales). - On cherche à améliorer la solution primal en respectant la dualité. 7. **Étapes de la méthode duale simplexe :** - Écrire la forme canonique du primal avec variables d'écart. - Identifier la base initiale dualement faisable. - Appliquer les itérations duales pour atteindre l'optimalité. 8. **Conclusion :** La méthode duale simplexe consiste à résoudre le problème dual en partant d'une solution duale faisable et en améliorant la solution primal jusqu'à optimalité. **Note :** La résolution complète nécessite la mise sous forme tableau et itérations, ce qui dépasse ce cadre.