1. **Planteamiento del problema:** La empresa "Hilos y Tejidos Ecuador" produce dos tipos de telas: algodón y poliéster. Se desea maximizar la ganancia semanal bajo ciertas restricciones. 2. **Definición de variables:** Sea $x$ la cantidad de metros de tela de algodón a producir. Sea $y$ la cantidad de metros de tela de poliéster a producir. 3. **Función objetivo:** Maximizar la ganancia total: $$Z = 8x + 5y$$ 4. **Restricciones:** - Tiempo de producción: $2x + y \leq 1200$ (horas disponibles) - Materia prima: $x + 0.5y \leq 800$ (kg disponibles) - Demanda mínima algodón: $x \geq 200$ - Demanda máxima poliéster: $y \leq 500$ - No negatividad: $x \geq 0$, $y \geq 0$ 5. **Método gráfico paso a paso:** - Graficar las rectas de las restricciones: - $2x + y = 1200$ (tiempo) - $x + 0.5y = 800$ (materia prima) - $x = 200$ (mínimo algodón) - $y = 500$ (máximo poliéster) - Determinar la región factible que cumple todas las restricciones. - Encontrar los vértices de la región factible: 1. Intersección de $x=200$ y $y=500$ es $(200,500)$ 2. Intersección de $x=200$ y $2x + y = 1200$: $$2(200) + y = 1200 \Rightarrow y = 1200 - 400 = 800$$ Pero $y=800$ excede la restricción $y \leq 500$, no válido. 3. Intersección de $x=200$ y $x + 0.5y = 800$: $$200 + 0.5y = 800 \Rightarrow 0.5y = 600 \Rightarrow y = 1200$$ $y=1200$ excede $y \leq 500$, no válido. 4. Intersección de $y=500$ y $2x + y = 1200$: $$2x + 500 = 1200 \Rightarrow 2x = 700 \Rightarrow x = 350$$ 5. Intersección de $y=500$ y $x + 0.5y = 800$: $$x + 0.5(500) = 800 \Rightarrow x + 250 = 800 \Rightarrow x = 550$$ - Verificar que los puntos cumplen $x \geq 200$: - $(350,500)$ cumple - $(550,500)$ cumple - Evaluar la función objetivo $Z=8x+5y$ en los vértices válidos: - En $(200,500)$: $Z=8(200)+5(500)=1600+2500=4100$ - En $(350,500)$: $Z=8(350)+5(500)=2800+2500=5300$ - En $(550,500)$: $Z=8(550)+5(500)=4400+2500=6900$ - Verificar si hay otros vértices: - Intersección de $2x + y = 1200$ y $x + 0.5y = 800$: Resolver sistema: $$2x + y = 1200$$ $$x + 0.5y = 800$$ Multiplicar segunda por 2: $$2x + y = 1600$$ Restar primera: $$(2x + y) - (2x + y) = 1600 - 1200 \Rightarrow 0 = 400$$ Esto indica que las rectas no se intersectan (paralelas), revisar cálculo: Replantear: De la segunda: $x = 800 - 0.5y$ Sustituir en la primera: $$2(800 - 0.5y) + y = 1200$$ $$1600 - y + y = 1200$$ $$1600 = 1200$$ Contradicción, no se intersectan. - Por lo tanto, los vértices a evaluar son: - $(200,500)$ - $(350,500)$ - $(550,500)$ 6. **Conclusión:** La ganancia máxima es $6900$ al producir $550$ metros de algodón y $500$ metros de poliéster. --- **Respuesta final:** La empresa debe producir semanalmente $550$ metros de tela de algodón y $500$ metros de tela de poliéster para maximizar la ganancia en $6900$.