1. **Planteamos el problema:** Minimizar la función objetivo $$z = 20x_1 + 5x_2$$ sujeta a las restricciones: $$\begin{cases} x_1 + x_2 \geq 12 \\ 4x_1 + x_2 \geq 24 \\ x_1 \geq 3 \\ x_2 \leq 18 \\ 5x_1 + 4x_2 \leq 120 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}$$ 2. **Identificamos la región factible:** Es el conjunto de puntos $(x_1,x_2)$ que cumplen todas las restricciones. 3. **Encontramos los vértices de la región factible:** La solución óptima de un problema lineal se encuentra en un vértice de la región factible. - Intersección de $x_1 + x_2 = 12$ y $4x_1 + x_2 = 24$: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 12 \\ 4x_1 + x_2 = 24 \end{cases} \Rightarrow$$ Restando la primera de la segunda: $$4x_1 + x_2 - (x_1 + x_2) = 24 - 12 \Rightarrow 3x_1 = 12 \Rightarrow x_1 = 4$$ Luego $x_2 = 12 - 4 = 8$ - Intersección de $x_1 = 3$ y $4x_1 + x_2 = 24$: $$4(3) + x_2 = 24 \Rightarrow 12 + x_2 = 24 \Rightarrow x_2 = 12$$ - Intersección de $x_1 = 3$ y $5x_1 + 4x_2 = 120$: $$5(3) + 4x_2 = 120 \Rightarrow 15 + 4x_2 = 120 \Rightarrow 4x_2 = 105 \Rightarrow x_2 = 26.25$$ Pero $x_2 \leq 18$, entonces $x_2 = 18$ en este punto. - Intersección de $x_2 = 18$ y $5x_1 + 4x_2 = 120$: $$5x_1 + 4(18) = 120 \Rightarrow 5x_1 + 72 = 120 \Rightarrow 5x_1 = 48 \Rightarrow x_1 = 9.6$$ - Intersección de $x_1 + x_2 = 12$ y $x_2 = 18$ no es posible porque $x_2=18$ es mayor que 12. 4. **Evaluamos la función objetivo en los vértices factibles:** - En $(4,8)$: $$z = 20(4) + 5(8) = 80 + 40 = 120$$ - En $(3,12)$: $$z = 20(3) + 5(12) = 60 + 60 = 120$$ - En $(3,18)$: $$z = 20(3) + 5(18) = 60 + 90 = 150$$ - En $(9.6,18)$: $$z = 20(9.6) + 5(18) = 192 + 90 = 282$$ 5. **Conclusión:** El valor mínimo de $z$ es 120 y se alcanza en los puntos $(4,8)$ y $(3,12)$.