1. **Planteamiento del problema:** Un estudiante compra naranjas y limones para hacer jugos y venderlos. Debe maximizar sus ingresos bajo ciertas restricciones. 2. **Definición de variables:** Sea $x$ la cantidad de kg de naranjas y $y$ la cantidad de kg de limones que compra. 3. **Restricciones:** - Peso total: $x + y \leq 6$ (máximo 6 kg de fruta) - Presupuesto: $20x + 32y \leq 200$ (máximo 200 bolivianos) - Limonadas máximas vendidas: $10y \leq 45 \Rightarrow y \leq 4.5$ - Compra mínima de limones: $y \geq 2$ - No puede comprar cantidades negativas: $x \geq 0$, $y \geq 0$ 4. **Ingresos:** - Por kg de naranja se hacen 4 jugos, vendidos a 35 bs cada uno: ingreso por naranja $= 4x \times 35 = 140x$ - Por kg de limón se hacen 10 limonadas, vendidas a 12 bs cada una: ingreso por limón $= 10y \times 12 = 120y$ 5. **Función objetivo a maximizar:** $$ I = 140x + 120y $$ 6. **Sistema de restricciones:** $$ \begin{cases} x + y \leq 6 \\ 20x + 32y \leq 200 \\ y \leq 4.5 \\ y \geq 2 \\ x \geq 0 \end{cases} $$ 7. **Evaluación en vértices del polígono factible:** - Punto A: $y=2$ - De $x + 2 \leq 6 \Rightarrow x \leq 4$ - De presupuesto: $20x + 64 \leq 200 \Rightarrow 20x \leq 136 \Rightarrow x \leq 6.8$ - Entonces $x \leq 4$ - Ingreso: $I = 140(4) + 120(2) = 560 + 240 = 800$ - Punto B: $y=4.5$ - De $x + 4.5 \leq 6 \Rightarrow x \leq 1.5$ - De presupuesto: $20x + 144 \leq 200 \Rightarrow 20x \leq 56 \Rightarrow x \leq 2.8$ - Entonces $x \leq 1.5$ - Ingreso: $I = 140(1.5) + 120(4.5) = 210 + 540 = 750$ - Punto C: Intersección de $x + y = 6$ y $20x + 32y = 200$ - De la primera: $y = 6 - x$ - Sustituyendo en la segunda: $$20x + 32(6 - x) = 200 \Rightarrow 20x + 192 - 32x = 200 \Rightarrow -12x = 8 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$$ - No es válido porque $x \geq 0$ - Punto D: $x=0$ - $y \leq 6$ - Presupuesto: $32y \leq 200 \Rightarrow y \leq 6.25$ - Pero $y \leq 4.5$ por limonadas - $y \geq 2$ - Entonces $y=4.5$ - Ingreso: $I = 140(0) + 120(4.5) = 540$ - Punto E: $x=4$, $y=2$ (ya evaluado en A) 8. **Conclusión:** El ingreso máximo es $800$ bolivianos cuando compra 4 kg de naranjas y 2 kg de limones. **Respuesta:** b. 800