1. **Planteamiento del problema:** Una empresa tiene un presupuesto de 1800 millones para construir aviones de tipo A y B. El costo de cada avión A es 30 millones y de cada avión B es 20 millones. El número total de aviones no puede superar 80. El beneficio por avión A es 4 millones y por avión B es 3 millones. Se busca maximizar el beneficio total. 2. **Definición de variables:** Sea $x$ el número de aviones tipo A y $y$ el número de aviones tipo B. 3. **Restricciones:** - Presupuesto: $$30x + 20y \leq 1800$$ - Número total: $$x + y \leq 80$$ - No negatividad: $$x \geq 0, y \geq 0$$ 4. **Función objetivo (beneficio total):** $$Z = 4x + 3y$$ 5. **Resolución:** Primero, expresamos las restricciones: - $$30x + 20y \leq 1800 \Rightarrow 3x + 2y \leq 180$$ - $$x + y \leq 80$$ 6. **Encontramos los vértices del área factible:** - Intersección de $$3x + 2y = 180$$ y $$x + y = 80$$: Multiplicamos la segunda por 2: $$2x + 2y = 160$$ Restamos: $$(3x + 2y) - (2x + 2y) = 180 - 160 \Rightarrow x = 20$$ Sustituyendo en $$x + y = 80$$: $$20 + y = 80 \Rightarrow y = 60$$ - Intersección con ejes: - Si $$x=0$$ en $$3x + 2y \leq 180$$, $$2y \leq 180 \Rightarrow y \leq 90$$ pero $$y \leq 80$$ por la otra restricción, entonces $$y=80$$. - Si $$y=0$$ en $$3x + 2y \leq 180$$, $$3x \leq 180 \Rightarrow x \leq 60$$ pero $$x \leq 80$$, entonces $$x=60$$. 7. **Evaluamos la función objetivo en los vértices:** - En $$ (0,80) $$: $$Z = 4(0) + 3(80) = 240$$ - En $$ (60,0) $$: $$Z = 4(60) + 3(0) = 240$$ - En $$ (20,60) $$: $$Z = 4(20) + 3(60) = 80 + 180 = 260$$ 8. **Conclusión:** El beneficio máximo es 260 millones construyendo 20 aviones tipo A y 60 tipo B.