1. **Exercice 20 : Événements contraires** L'urne contient 5 boules rouges (R) et 3 boules vertes (V). On tire 3 boules simultanément. - Événement A : « Tirer deux boules rouges et une boule verte » - Affirmations à vérifier : - a) L'événement contraire de « Tirer au moins deux boules rouges » est « Tirer au plus deux boules rouges ». - b) L'événement contraire de « Tirer au moins deux boules rouges » est « Tirer au plus une boule rouge ». - c) L'événement contraire de « Tirer au moins deux boules rouges » est « Tirer au plus une boule verte ». **Analyse :** - L'événement « Tirer au moins deux boules rouges » signifie $X \geq 2$ où $X$ est le nombre de boules rouges tirées. - Son événement contraire est $X < 2$, c'est-à-dire « Tirer au plus une boule rouge ». Donc : - a) Faux, car « Tirer au plus deux boules rouges » inclut $X \leq 2$, ce n'est pas l'événement contraire. - b) Vrai, car « Tirer au plus une boule rouge » est bien $X < 2$. - c) Faux, car « Tirer au plus une boule verte » ne correspond pas à l'événement contraire de $X \geq 2$. 2. **Exercice 21 : Lancer de deux dés** - Univers des possibles : toutes les paires $(d_1,d_2)$ avec $d_1,d_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}$. 1. Trois éventualités composées chacune d'un chiffre pair : - (2,4), (6,6), (4,2) 2. Cardinal de l'univers : $$6 \times 6 = 36$$ 3. Probabilités : - A : « Le premier chiffre est pair » - Nombres pairs : 2,4,6 - Nombre d'issues favorables : $3 \times 6 = 18$ - Probabilité : $$P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$$ - B : « Les deux chiffres sont consécutifs » - Paires consécutives possibles : (1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5) - Nombre d'issues favorables : 10 - Probabilité : $$P(B) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$$ 3. **Exercice 22 : Loi de probabilité et statistiques** Sac avec 4 bleus (B), 3 verts (V), 1 rose (R). On tire 3 jetons sans remise. - Variable aléatoire $X$ = nombre de jetons verts tirés. 1. Valeurs possibles de $X$ : $$X \in \{0,1,2,3\}$$ 2. Loi de probabilité de $X$ : - Total de façons de tirer 3 jetons parmi 8 : $$N = \binom{8}{3} = 56$$ - Calcul des probabilités : - $P(X=0)$ : aucun vert, donc 3 jetons parmi 5 non-verts (4B + 1R): $$\binom{5}{3} = 10$$ $$P(X=0) = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}$$ - $P(X=1)$ : 1 vert parmi 3 verts, 2 non-verts parmi 5: $$\binom{3}{1} \times \binom{5}{2} = 3 \times 10 = 30$$ $$P(X=1) = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$$ - $P(X=2)$ : 2 verts parmi 3, 1 non-vert parmi 5: $$\binom{3}{2} \times \binom{5}{1} = 3 \times 5 = 15$$ $$P(X=2) = \frac{15}{56}$$ - $P(X=3)$ : 3 verts parmi 3: $$\binom{3}{3} = 1$$ $$P(X=3) = \frac{1}{56}$$ 3. Espérance mathématique $E(X)$ : $$E(X) = 0 \times \frac{5}{28} + 1 \times \frac{15}{28} + 2 \times \frac{15}{56} + 3 \times \frac{1}{56}$$ $$= 0 + \frac{15}{28} + \frac{30}{56} + \frac{3}{56} = \frac{15}{28} + \frac{33}{56}$$ $$= \frac{30}{56} + \frac{33}{56} = \frac{63}{56} = 1.125$$ 4. Variance $Var(X)$ : $$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$ Calcul de $E(X^2)$ : $$E(X^2) = 0^2 \times \frac{5}{28} + 1^2 \times \frac{15}{28} + 2^2 \times \frac{15}{56} + 3^2 \times \frac{1}{56}$$ $$= 0 + \frac{15}{28} + 4 \times \frac{15}{56} + 9 \times \frac{1}{56} = \frac{15}{28} + \frac{60}{56} + \frac{9}{56}$$ $$= \frac{15}{28} + \frac{69}{56} = \frac{30}{56} + \frac{69}{56} = \frac{99}{56}$$ Donc : $$Var(X) = \frac{99}{56} - \left(\frac{63}{56}\right)^2 = \frac{99}{56} - \frac{3969}{3136} \approx 1.7679 - 1.2656 = 0.5023$$ 5. Écart-type $\sigma = \sqrt{Var(X)}$ : $$\sigma \approx \sqrt{0.5023} \approx 0.708$$