1. **Exercice 20 : Événements contraires** L'urne contient 5 boules rouges (R) et 3 boules vertes (V). On tire 3 boules simultanément. - L'événement « Tirer au moins deux boules rouges » signifie tirer 2 ou 3 rouges. - L'événement contraire est donc « Tirer moins de deux boules rouges », c'est-à-dire 0 ou 1 boule rouge. **Affirmations :** - « Tirer deux boules rouges et une boule verte » correspond à 2 rouges, donc fait partie de l'événement « au moins deux rouges », donc ce n'est pas l'événement contraire. **Faux** - « Tirer au plus deux boules rouges » signifie 0, 1 ou 2 rouges, ce n'est pas l'événement contraire (qui est moins de 2 rouges). **Faux** - « Tirer au plus une boule rouge » signifie 0 ou 1 rouge, c'est exactement l'événement contraire. **Vrai** - « Tirer au plus une boule verte » signifie 0 ou 1 verte, ce n'est pas l'événement contraire. **Faux** 2. **Exercice 21 : Lancer de deux dés** 1. Trois éventualités composées chacune d’un chiffre pair : - (2,4), (6,6), (4,2) 2. Le cardinal de l’univers des possibles est le nombre de couples possibles avec deux dés à 6 faces : $$6 \times 6 = 36$$ 3. Probabilités : - A : « Le premier chiffre est pair » Le premier dé peut être 2, 4, ou 6, donc 3 possibilités sur 6. $$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ - B : « Les deux chiffres sont consécutifs » Les couples consécutifs sont ceux où la différence entre les chiffres est 1 : (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5) Il y a 10 tels couples. $$P(B) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$$ 3. **Exercice 22 : Tirage sans remise de jetons** Le sac contient 4 bleus (B), 3 verts (V), 1 rose (R). On tire 3 jetons sans remise. 1. Valeurs possibles de la variable aléatoire $X$ = nombre de jetons verts tirés : $$X \in \{0,1,2,3\}$$ 2. Loi de probabilité de $X$ : - Total de jetons : 8 - Nombre total de tirages de 3 jetons : $$\binom{8}{3} = 56$$ Calcul des probabilités : - $P(X=0)$ : aucun vert, donc 3 jetons parmi les 5 non-verts (4B + 1R) : $$\binom{5}{3} = 10$$ $$P(X=0) = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}$$ - $P(X=1)$ : 1 vert parmi 3 verts, 2 non-verts parmi 5 : $$\binom{3}{1} \times \binom{5}{2} = 3 \times 10 = 30$$ $$P(X=1) = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$$ - $P(X=2)$ : 2 verts parmi 3, 1 non-vert parmi 5 : $$\binom{3}{2} \times \binom{5}{1} = 3 \times 5 = 15$$ $$P(X=2) = \frac{15}{56}$$ - $P(X=3)$ : 3 verts parmi 3 : $$\binom{3}{3} = 1$$ $$P(X=3) = \frac{1}{56}$$ 3. Espérance mathématique $E(X)$ : $$E(X) = 0 \times \frac{5}{28} + 1 \times \frac{15}{28} + 2 \times \frac{15}{56} + 3 \times \frac{1}{56}$$ Calculons : $$E(X) = 0 + \frac{15}{28} + \frac{30}{56} + \frac{3}{56} = \frac{15}{28} + \frac{33}{56}$$ Mettons au même dénominateur 56 : $$\frac{15}{28} = \frac{30}{56}$$ Donc : $$E(X) = \frac{30}{56} + \frac{33}{56} = \frac{63}{56} = 1.125$$ 4. Variance $Var(X)$ : $$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$ Calculons $E(X^2)$ : $$E(X^2) = 0^2 \times \frac{5}{28} + 1^2 \times \frac{15}{28} + 2^2 \times \frac{15}{56} + 3^2 \times \frac{1}{56}$$ $$= 0 + \frac{15}{28} + 4 \times \frac{15}{56} + 9 \times \frac{1}{56} = \frac{15}{28} + \frac{60}{56} + \frac{9}{56}$$ $$= \frac{15}{28} + \frac{69}{56} = \frac{30}{56} + \frac{69}{56} = \frac{99}{56}$$ Calcul de la variance : $$Var(X) = \frac{99}{56} - \left(\frac{63}{56}\right)^2 = \frac{99}{56} - \frac{3969}{3136}$$ Convertissons au même dénominateur 3136 : $$\frac{99}{56} = \frac{99 \times 56}{56 \times 56} = \frac{5544}{3136}$$ Donc : $$Var(X) = \frac{5544}{3136} - \frac{3969}{3136} = \frac{1575}{3136} \approx 0.502$$ 5. Écart-type $\sigma = \sqrt{Var(X)}$ : $$\sigma = \sqrt{\frac{1575}{3136}} \approx \sqrt{0.502} \approx 0.708$$