1. **بيان المسألة:** نقوم بسحب 3 كرات من صناديق U1 و U2 بطريقة تعتمد على لون الكرة الأولى المسحوبة من U1. 2. **شجرة الاحتمالات:** - من U1: 5 كرات (2 حمراء R، 3 خضراء V). - الاحتمال لسحب كرة حمراء من U1: $P(R) = \frac{2}{5}$. - الاحتمال لسحب كرة خضراء من U1: $P(V) = \frac{3}{5}$. 3. **احتمالات السحب الثانية والثالثة:** - إذا كانت الكرة الأولى حمراء (R): نعيدها ثم نسحب كرتين من U1 (5 كرات: 2R و3V). - احتمال RR (كرتان حمراوان): $\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$. - احتمال RV (واحدة حمراء وواحدة خضراء): $2 \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$. - احتمال VV (كرتان خضراوان): $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$. - إذا كانت الكرة الأولى خضراء (V): نضعها في U2 (الآن U2 بها 6 كرات: 3R و3V) ثم نسحب كرتين من U2. - احتمال RR: $\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$. - احتمال RV: $2 \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$. - احتمال VV: $\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$. 4. **احتمال الحادث A: الحصول على 3 كرات من نفس اللون** - 3 حمر: الكرة الأولى حمراء ثم RR من U1 $$P(3R) = P(R) \times P(RR|R) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{10} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$$ - 3 خضر: الكرة الأولى خضراء ثم VV من U2 $$P(3V) = P(V) \times P(VV|V) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{25}$$ - إذن: $$P(A) = P(3R) + P(3V) = \frac{1}{25} + \frac{3}{25} = \frac{4}{25} = 0.16$$ 5. **احتمال الحادث B: الحصول على كرة خضراء على الأقل** - نستخدم متمم الحادث "لا توجد كرة خضراء" أي 3 كرات حمراء $$P(B) = 1 - P(3R) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} = 0.96$$ 6. **المتغير العشوائي X: عدد الكرات الحمراء في السحب الثلاثي** - قيم X يمكن أن تكون 0، 1، 2، 3. - حساب الاحتمالات: - $P(X=3) = P(3R) = \frac{1}{25}$ - $P(X=0) = P(3V) = \frac{3}{25}$ - لحساب $P(X=1)$ و $P(X=2)$ نستخدم الاحتمالات المتبقية من كل حالة: - إذا كانت الكرة الأولى R: - $P(R) = \frac{2}{5}$ - من U1 نسحب كرتين: - RR: $\frac{1}{10}$ (3R) - RV: $\frac{3}{5}$ (2R و1V) - VV: $\frac{3}{10}$ (1R و2V) - إذا كانت الكرة الأولى V: - $P(V) = \frac{3}{5}$ - من U2 نسحب كرتين: - RR: $\frac{1}{5}$ (2R و1V) - RV: $\frac{3}{5}$ (1R و2V) - VV: $\frac{1}{5}$ (0R و3V) - إذن: $$P(X=2) = P(R) \times P(RV|R) + P(V) \times P(RR|V) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{6}{25} + \frac{3}{25} = \frac{9}{25}$$ $$P(X=1) = P(R) \times P(VV|R) + P(V) \times P(RV|V) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{10} + \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{50} + \frac{9}{25} = \frac{3}{25} + \frac{9}{25} = \frac{12}{25}$$ 7. **حساب الأمل الرياضي $E(X)$:** $$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$$ $$= 0 + 1 \times \frac{12}{25} + 2 \times \frac{9}{25} + 3 \times \frac{1}{25} = \frac{12}{25} + \frac{18}{25} + \frac{3}{25} = \frac{33}{25} = 1.32$$ **النتائج النهائية:** - $P(A) = 0.16$ - $P(B) = 0.96$ - $E(X) = 1.32$