1. Énoncé du problème : Nous avons une entreprise fabriquant des téléviseurs avec 95 % d'appareils en état de fonctionnement (événement $F$). Chaque appareil fait un test d'acceptation ($T$ accepté, $\overline{T}$ refusé). On sait : - $P(F) = 0.95$, donc $P(\overline{F}) = 1 - 0.95 = 0.05$ - $P(T|F) = 0.96$, donc $P(\overline{T}|F) = 1 - 0.96 = 0.04$ - $P(T|\overline{F}) = 0.08$, donc $P(\overline{T}|\overline{F}) = 1 - 0.08 = 0.92$ 2. Arbre pondéré : - Premier niveau : - $F$ avec probabilité $0.95$ - $\overline{F}$ avec probabilité $0.05$ - Second niveau : - Sous $F$ : $T$ avec $0.96$, $\overline{T}$ avec $0.04$ - Sous $\overline{F}$ : $T$ avec $0.08$, $\overline{T}$ avec $0.92$ 3. Calculs : 1) Probabilité que le téléviseur ne soit pas en état de fonctionnement : $$P(\overline{F}) = 0.05$$ 2) a) Probabilité qu’il soit refusé sachant qu’il est en état de fonctionnement : $$P(\overline{T}|F) = 0.04$$ b) Probabilité qu’il soit refusé et en état de fonctionnement (intersection) : $$P(F \cap \overline{T}) = P(F) \times P(\overline{T}|F) = 0.95 \times 0.04 = 0.038$$ c) Probabilité qu’il soit refusé et pas en état de fonctionnement : $$P(\overline{F} \cap \overline{T}) = P(\overline{F}) \times P(\overline{T}|\overline{F}) = 0.05 \times 0.92 = 0.046$$ 3) Probabilité que le téléviseur soit refusé à l’issue du test (union des deux cas de refus) : $$P(\overline{T}) = P(F \cap \overline{T}) + P(\overline{F} \cap \overline{T}) = 0.038 + 0.046 = 0.084$$ 4) Probabilité qu’un téléviseur soit en état de fonctionnement sachant qu’il est refusé (formule de Bayes) : $$P(F|\overline{T}) = \frac{P(F \cap \overline{T})}{P(\overline{T})} = \frac{0.038}{0.084} = \frac{38}{84} \approx 0.4524$$ Réponses : - $P(\overline{F}) = 0.05$ - $P(\overline{T}|F) = 0.04$ - $P(F \cap \overline{T}) = 0.038$ - $P(\overline{F} \cap \overline{T}) = 0.046$ - $P(\overline{T}) = 0.084$ - $P(F|\overline{T}) \approx 0.4524$ Ceci complète la résolution de l’exercice.