1. Énoncer le problème : Nous avons un tirage successif avec remise de trois boules dans une boîte (Exercice 1) et un tirage simultané puis successif sans remise dans une urne avec 6 boules blanches et 3 noires (Exercice 2). Exercice 1: 1.a. Définir l'univers $\Omega$ : - Chaque tirage donne une boule blanche (B), noire (N) ou verte (V). - Les tirages sont avec remise, donc indépendants. - $\Omega = \{BBB, BBN, BBV, BNB, BNN, BNV, BV..., VVV\}$ (toutes les combinaisons de 3 boules avec répétition). 1.b. Nombre de cas possibles : - Chaque tirage a 3 issues possibles, donc $3^3=27$. 2. Calcul des probabilités (hypothèse de probabilité égale pour chaque couleur ou données probabilité non précisées, supposons égales $\frac{1}{3}$ chacun) : C1 : "Obtenir B, N, V dans cet ordre" $$P(C1) = P(B)*P(N)*P(V) = \frac{1}{3} * \frac{1}{3} * \frac{1}{3} = \frac{1}{27}.$$ C2 : "Deux boules blanches au premier et dernier tirage" $$P(C2) = P(B) * P(\text{n'importe quelle couleur}) * P(B) = \frac{1}{3} * 1 * \frac{1}{3} = \frac{1}{9}.$$ C3 : "Deux boules blanches dans les trois tirages" - Nombre de suites avec exactement 2 B parmi 3 tirages : $\binom{3}{2} =3$. - Chaque réalise : $\left(\frac{1}{3}\right)^2 * \left(\frac{2}{3}\right)$ (autre couleur). $$P(C3) = 3 * \frac{1}{3} * \frac{1}{3} * \frac{2}{3} = 3 * \frac{2}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}.$$ C4 : "Boules de même couleur" - Trois blanches, ou trois noires, ou trois vertes. - Chacune a probabilité $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$. $$P(C4) = 3 * \frac{1}{27} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}.$$ C5 : "Boules de couleurs différentes" - Trois tirages, toutes différentes parmi {B,N,V}. - Seulement une permu de (B,N,V) possible : $3! = 6$ arrangements. - Chaque arrangement a probabilité $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$. $$P(C5) = 6 * \frac{1}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}.$$ Exercice 2: 1.a. Nombre de tirages simultanés de 3 boules parmi 9 sans remise : $$\binom{9}{3} = \frac{9*8*7}{3*2*1} = 84.$$ 1.b. Probabilités : A : "Trois boules de même couleur" - Trois blanches : $\binom{6}{3}=20$ - Trois noires : $\binom{3}{3}=1$ - Total cas favorables = 20 + 1 = 21 $$P(A) = \frac{21}{84} = \frac{1}{4}.$$ B : "Au plus une boule noire" - Zéro noire : $\binom{6}{3} =20$ - Une noire : $\binom{3}{1} * \binom{6}{2} = 3*15=45$ - Total : 20 + 45 = 65 $$P(B) = \frac{65}{84}.$$ 2. Tirage successif sans remise de 3 boules : C : "Deux blanches et une noire dans l'ordre" - Trois ordres possibles pour placement de la noire : on veut précisément dans ordre donnée (deux blanches puis noire) - Probabilité : $$P(C) = \frac{6}{9} * \frac{5}{8} * \frac{3}{7} = \frac{6*5*3}{9*8*7} = \frac{90}{504} = \frac{15}{84} = \frac{5}{28}.$$ D : "Au moins une boule noire" = $1 - P($aucune noire$)$ - Sans noire : 3 blanches successives: $$P(\text{0 noire}) = \frac{6}{9} * \frac{5}{8} * \frac{4}{7} = \frac{120}{504} = \frac{20}{84} = \frac{5}{21}.$$ - Donc $$P(D) = 1 - \frac{5}{21} = \frac{16}{21}.$$