1. **Énoncé du problème :** On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi du Khi-deux avec $k=4$ degrés de liberté. 2. **Densité de la loi du Khi-deux à $k$ degrés de liberté :** La densité de probabilité $f_X(x)$ pour $x > 0$ est donnée par la formule : $$ f_X(x) = \frac{1}{2^{k/2} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} x^{\frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}} $$ avec $\Gamma$ la fonction Gamma. 3. **Calcul des probabilités :** - Pour $P(X \leq 1,5)$, on utilise la fonction de répartition de la loi $\chi^2$ à 4 degrés de liberté. - Pour $P(X \geq 7)$, on utilise la complémentarité : $$ P(X \geq 7) = 1 - P(X < 7) $$ Ces probabilités s'expriment via la fonction Gamma incomplète ou tables statistiques. 4. **Espérance et variance de la loi $\chi^2(k)$ :** - Espérance : $$ E(X) = k $$ - Variance : $$ Var(X) = 2k $$ **Résumé :** - Densité : $$ f_X(x) = \frac{1}{2^{2} \Gamma(2)} x^{2-1} e^{-x/2} = \frac{1}{4 \times 1} x^{1} e^{-x/2} = \frac{x}{4} e^{-x/2} $$ - Espérance : $4$ - Variance : $8$ - Probabilités : s'expriment via la fonction de répartition du Khi-deux à 4 degrés de liberté.