1. **הבעיה:** להוכיח כי עבור משתנים מקריים X,Y עם מומנטים שניים סופיים, ופונקציה הפיכה $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ מתקיים: $$E[X|g(Y)] = E[X|Y]$$ 2. **הסבר:** המשמעות היא שההערכה המותנית של $X$ בהינתן $g(Y)$ שווה להערכה המותנית של $X$ בהינתן $Y$. 3. **כלל חשוב:** אם $g$ הפיכה, אז $g(Y)$ ו-$Y$ מכילים את אותה המידע, כלומר $\sigma(g(Y)) = \sigma(Y)$, שם $\sigma(\cdot)$ הוא האלגברה המולדת על ידי המשתנה. 4. **הוכחה:** - מאחר ש-$g$ הפיכה, קיימת פונקציה הפוכה $g^{-1}$ כך ש-$Y = g^{-1}(g(Y))$. - לכן, כל מידע על $Y$ ניתן לשחזר מ-$g(Y)$, כלומר $\sigma(Y) = \sigma(g(Y))$. - לפי תכונות של הערכה מותנית, אם $\mathcal{G}_1 = \mathcal{G}_2$ אז $E[X|\mathcal{G}_1] = E[X|\mathcal{G}_2]$ כמעט בוודאות. - לכן, $E[X|g(Y)] = E[X|Y]$ כמעט בוודאות. 5. **סיכום:** הפונקציה ההפיכה שומרת על כל המידע של $Y$, ולכן הערכה מותנית לפי $g(Y)$ שווה להערכה מותנית לפי $Y$. **תשובה סופית:** $$E[X|g(Y)] = E[X|Y]$$