1. Problem: Z pudełka z 6 kulami białymi i 4 czarnymi losujemy 2 kule jednocześnie. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul różnokolorowych. Kroki: 1. Liczba wszystkich możliwych par kul to $$\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$$. 2. Liczba par różnokolorowych to liczba par z 1 białą i 1 czarną kulą: $$6 \times 4 = 24$$. 3. Prawdopodobieństwo to stosunek liczby par różnokolorowych do wszystkich par: $$\frac{24}{45} = \frac{8}{15}$$. 2. Problem: Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest takie, że $$P(A) = 9 \cdot P(A')$$, gdzie $$A'$$ to zdarzenie przeciwne do A. Znajdź $$P(A)$$. Kroki: 1. Wiemy, że $$P(A) + P(A') = 1$$. 2. Podstawiamy $$P(A) = 9P(A')$$, więc $$9P(A') + P(A') = 1$$. 3. Zatem $$10P(A') = 1 \Rightarrow P(A') = \frac{1}{10}$$. 4. Wobec tego $$P(A) = 9 \cdot \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$. 3. Problem: Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych mniejszych od 44 losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest podzielna przez 3. Kroki: 1. Liczby dwucyfrowe mniejsze od 44 to od 10 do 43, czyli $$43 - 10 + 1 = 34$$ liczb. 2. Znajdź liczby podzielne przez 3 w tym zakresie: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42 – jest ich 11. 3. Prawdopodobieństwo to $$\frac{11}{34}$$. 4. Problem: Mamy dwa pudełka: pierwsze z 6 białymi i 4 czarnymi kulami, drugie z 8 białymi i 2 czarnymi. Rzucamy monetą: orzeł – losujemy z pierwszego, reszka – z drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli. Kroki: 1. Prawdopodobieństwo orła i reszki jest $$\frac{1}{2}$$. 2. Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli z pierwszego pudełka: $$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$. 3. Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli z drugiego pudełka: $$\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$. 4. Całkowite prawdopodobieństwo: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10}$$. 5. Problem: Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn oczek jest podzielny przez 6. Kroki: 1. Liczba wszystkich wyników to $$6 \times 6 = 36$$. 2. Iloczyn jest podzielny przez 6, jeśli jest podzielny przez 2 i 3. 3. Liczby podzielne przez 2: 2,4,6; podzielne przez 3: 3,6. 4. Obliczamy liczbę par, gdzie iloczyn jest podzielny przez 6: - Jeśli pierwszy rzut jest podzielny przez 2, a drugi przez 3: $$3 \times 2 = 6$$ par. - Jeśli pierwszy rzut jest podzielny przez 3, a drugi przez 2: $$2 \times 3 = 6$$ par. - Jeśli oba rzuty są podzielne przez 6: $$1 \times 1 = 1$$ para (liczona dwukrotnie, więc odejmujemy raz). 5. Razem: $$6 + 6 - 1 = 11$$ par. 6. Prawdopodobieństwo: $$\frac{11}{36}$$. Poprawka: Sprawdźmy dokładniej. Alternatywnie: - Iloczyn podzielny przez 6 oznacza, że iloczyn ma czynniki 2 i 3. - Liczby podzielne przez 2: 2,4,6 - Liczby podzielne przez 3: 3,6 Możliwości: - Pierwsza kostka podzielna przez 2 i druga podzielna przez 3: $$3 \times 2 = 6$$ - Pierwsza podzielna przez 3 i druga podzielna przez 2: $$2 \times 3 = 6$$ - Obie podzielne przez 6: $$1 \times 1 = 1$$ (liczone dwukrotnie) Suma: $$6 + 6 - 1 = 11$$ Prawdopodobieństwo: $$\frac{11}{36}$$ Ale odpowiedź podana to $$\frac{5}{12} = \frac{15}{36}$$, więc trzeba jeszcze raz policzyć. Inny sposób: - Iloczyn niepodzielny przez 6 to iloczyn niepodzielny przez 2 lub 3. - Liczba wyników, gdzie iloczyn niepodzielny przez 2: oba rzuty nieparzyste (1,3,5) – 3x3=9 - Liczba wyników, gdzie iloczyn niepodzielny przez 3: oba rzuty niepodzielne przez 3 (1,2,4,5) – 4x4=16 - Liczba wyników, gdzie iloczyn niepodzielny przez 2 lub 3 to suma minus przecięcie: $$9 + 16 - \text{liczba wyników niepodzielnych przez 2 i 3}$$ - Wyniki niepodzielne przez 2 i 3 to liczby nieparzyste i niepodzielne przez 3: 1,5 (2 liczby), więc 2x2=4 - Zatem liczba wyników niepodzielnych przez 6: $$9 + 16 - 4 = 21$$ - Liczba wyników podzielnych przez 6: $$36 - 21 = 15$$ - Prawdopodobieństwo: $$\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$$ 6. Problem: W pudełku jest 6 kul: 4 białe i 2 czarne. Dodano n białych kul. Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli to $$\frac{10}{11}$$. Znajdź n. Kroki: 1. Liczba białych kul po dodaniu: $$4 + n$$. 2. Całkowita liczba kul: $$6 + n$$. 3. Prawdopodobieństwo: $$\frac{4 + n}{6 + n} = \frac{10}{11}$$. 4. Mnożymy: $$11(4 + n) = 10(6 + n)$$. 5. Rozwijamy: $$44 + 11n = 60 + 10n$$. 6. Odejmujemy: $$11n - 10n = 60 - 44$$. 7. $$n = 16$$. 7. Problem: Pole trójkąta ABC wynosi 5, długość boku AB to 7, a $$\sin(\angle BAC) = \frac{5}{7}$$. Oblicz długości pozostałych boków. Kroki: 1. Pole trójkąta: $$P = \frac{1}{2} ab \sin C$$, ale tu mamy bok AB i kąt przy A. 2. Pole można wyrazić jako $$P = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$$. 3. Podstawiamy: $$5 = \frac{1}{2} \times 7 \times AC \times \frac{5}{7}$$. 4. Upraszczamy: $$5 = \frac{1}{2} \times 7 \times AC \times \frac{5}{7} = \frac{1}{2} \times AC \times 5 = \frac{5}{2} AC$$. 5. Zatem $$AC = \frac{5}{(5/2)} = 2$$. 6. Aby obliczyć trzeci bok BC, używamy twierdzenia cosinusów: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$$. 7. Obliczamy $$\cos(\angle BAC) = \sqrt{1 - \sin^2(\angle BAC)} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{7}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{49}} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$$. 8. Podstawiamy: $$BC^2 = 7^2 + 2^2 - 2 \times 7 \times 2 \times \frac{2\sqrt{6}}{7} = 49 + 4 - 28 \times \frac{2\sqrt{6}}{7} = 53 - 8\sqrt{6}$$. 9. Zatem $$BC = \sqrt{53 - 8\sqrt{6}}$$. 8. Problem: Rozwiąż nierówność $$5x(x - 2) \leq 4x - 8$$. Kroki: 1. Rozwijamy lewą stronę: $$5x^2 - 10x \leq 4x - 8$$. 2. Przenosimy wszystko na lewą stronę: $$5x^2 - 10x - 4x + 8 \leq 0$$ $$5x^2 - 14x + 8 \leq 0$$. 3. Obliczamy deltę: $$\Delta = (-14)^2 - 4 \times 5 \times 8 = 196 - 160 = 36$$. 4. Pierwiastki: $$x_1 = \frac{14 - 6}{2 \times 5} = \frac{8}{10} = 0.8$$ $$x_2 = \frac{14 + 6}{10} = 2$$. 5. Parabola jest skierowana do góry (współczynnik przy $$x^2$$ jest dodatni), więc nierówność $$\leq 0$$ jest spełniona między pierwiastkami. 6. Rozwiązanie: $$x \in [0.8, 2]$$. 9. Problem: Wykaż, że kwadrat dowolnej liczby naturalnej nieparzystej pomniejszony o 1 jest podzielny przez 8. Kroki: 1. Nieparzystą liczbę naturalną można zapisać jako $$2k + 1$$, gdzie $$k \in \mathbb{N}_0$$. 2. Kwadrat tej liczby to: $$ (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1 $$. 3. Odejmujemy 1: $$ (2k + 1)^2 - 1 = 4k(k + 1) $$. 4. Iloczyn $$k(k + 1)$$ jest zawsze parzysty, bo jedna z liczb jest parzysta. 5. Zatem $$k(k + 1) = 2m$$ dla pewnego $$m \in \mathbb{N}_0$$. 6. Podstawiamy: $$4 \times 2m = 8m$$. 7. Wniosek: $$ (2k + 1)^2 - 1 $$ jest podzielne przez 8. 10. Problem: Kąt $$\alpha$$ jest ostry i spełnia $$10 \tan^2 \alpha - 5 \sin^2 \alpha = 5 \cos^2 \alpha$$. Oblicz wartość $$\sqrt{\tan^2 \alpha + 1}$$. Kroki: 1. Przekształcamy równanie: $$10 \tan^2 \alpha - 5 \sin^2 \alpha = 5 \cos^2 \alpha$$ 2. Dzielimy obie strony przez 5: $$2 \tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$ 3. Przypominamy, że $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$, więc $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$$. 4. Podstawiamy: $$2 \tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$$ 5. Dodajemy $$\sin^2 \alpha$$ do obu stron: $$2 \tan^2 \alpha = 1$$ 6. Zatem: $$\tan^2 \alpha = \frac{1}{2}$$ 7. Szukamy $$\sqrt{\tan^2 \alpha + 1} = \sqrt{\frac{1}{2} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$. 8. Wartość $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$ jest równa $$\frac{3}{2}$$ tylko jeśli uprościmy lub zaokrąglimy, ale dokładna wartość to $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$. Ponieważ w zadaniu podano odpowiedź $$\frac{3}{2}$$, sprawdzimy: $$\frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1.2247$$, a $$\frac{3}{2} = 1.5$$. Może chodziło o wartość $$\sqrt{\tan^2 \alpha + 1} = \frac{3}{2}$$, więc sprawdzimy jeszcze raz. Alternatywnie: $$\sqrt{\tan^2 \alpha + 1} = \frac{1}{\cos \alpha}$$ (bo $$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$). Zatem: $$\sqrt{\tan^2 \alpha + 1} = \frac{1}{\cos \alpha}$$. Z równania: $$2 \tan^2 \alpha = 1 \Rightarrow \tan^2 \alpha = \frac{1}{2}$$. Wiemy, że: $$\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$$. Podstawiamy: $$\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{3}{2}$$. Zatem: $$\sqrt{\tan^2 \alpha + 1} = \frac{1}{\cos \alpha} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$. Ostateczna wartość to $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$, a nie $$\frac{3}{2}$$. Podsumowanie: Prawdopodobnie w zadaniu jest podana wartość $$\frac{3}{2}$$ jako wynik, ale dokładna wartość to $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$. --- Odpowiedzi: 1. $$\frac{8}{15}$$ 2. $$\frac{9}{10}$$ 3. $$\frac{11}{34}$$ 4. $$\frac{7}{10}$$ 5. $$\frac{5}{12}$$ 6. $$16$$ 7. $$AC = 2$$, $$BC = \sqrt{53 - 8\sqrt{6}}$$ 8. $$x \in [0.8, 2]$$ 9. Dowód podzielności przez 8 wykonany 10. $$\sqrt{\tan^2 \alpha + 1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$