1. Énoncé : Soient deux événements F et G avec $P(F) = 0,3$, $P(G) = 0,5$ et $P(F \cup G) = 0,65$. Déterminer la relation entre F et G. Formule importante : $P(F \cup G) = P(F) + P(G) - P(F \cap G)$. Calculons $P(F \cap G)$ : $$P(F \cap G) = P(F) + P(G) - P(F \cup G) = 0,3 + 0,5 - 0,65 = 0,15.$$ Pour que F et G soient indépendants, il faut que $P(F \cap G) = P(F) \times P(G) = 0,3 \times 0,5 = 0,15$. Ici, c'est vrai, donc F et G sont indépendants. Elles ne sont pas disjointes (car $P(F \cap G) \neq 0$), ni incompatibles, ni impossibles. Réponse correcte : A) Indépendants. 2. Énoncé : Pour $x,y \in [0; +\infty[$, résoudre $x^n = y$. Formule : $x = \sqrt[n]{y}$. Les racines $\sqrt[n]{y}$ et $^{n}\sqrt{y}$ sont équivalentes notationnellement, mais la notation usuelle est $x = y^{\frac{1}{n}}$. Réponse correcte : B) $x = \sqrt[n]{y}$. 3. Énoncé : Soient $f,g$ telles que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ et $\lim_{x \to 2} g(x) = -\infty$. Analysons les compositions : - $\lim_{x \to +\infty} f \circ g(x) = \lim_{x \to +\infty} f(g(x))$ dépend de $\lim_{x \to +\infty} g(x)$, non donné. - $\lim_{x \to +\infty} g \circ f(x) = \lim_{x \to +\infty} g(f(x)) = \lim_{t \to 2} g(t) = -\infty$ car $f(x) \to 2$. - $\lim_{x \to 2} g \circ f(x) = g(\lim_{x \to 2} f(x))$ non donné. - $\lim_{x \to 2} f \circ g(x)$ non donné. Réponse correcte : B) $\lim_{x \to +\infty} g \circ f(x) = -\infty$. 4. Énoncé : On admet $-3x < 3x \sin(1/x) < 3x$ pour $x \in ]0;1[$. Par le théorème des gendarmes, puisque $\lim_{x \to 0} -3x = 0$ et $\lim_{x \to 0} 3x = 0$, on a : $$\lim_{x \to 0} 3x \sin(1/x) = 0.$$ Réponse correcte : B) $\lim_{x \to 0} 3x \sin(1/x) = 0$. Finales réponses : 1-A, 2-B, 3-B, 4-B.