1. Énoncé du problème : Calculer les pourcentages et probabilités liés à la possession d'écrans de différentes tailles et de protections d'écran. 2. Variables et données : - $P(E_4)$ : probabilité que le téléphone ait un écran de 4 pouces (inconnue ici) - $P(E_{4.7})$ : probabilité que le téléphone ait un écran de 4.7 pouces (inconnue) - $P(E_5)$ : probabilité que le téléphone ait un écran de 5 pouces (à calculer) - $P(E)$ : probabilité qu'une personne possède une protection d'écran - $P(E|E_4)=0.30$, $P(E|E_{4.7})=0.25$, $P(E|E_5)=0.40$ - $P(E) = 0.34$ 3. Calculer $P(E_5)$ : On sait que $$P(E) = P(E|E_4)P(E_4) + P(E|E_{4.7})P(E_{4.7}) + P(E|E_5)P(E_5)$$ On pose $P(E_4)=x$, $P(E_{4.7})=y$, $P(E_5)=z$ Sachant que $x+y+z=1$. L'énoncé ne donne pas $x$ ni $y$, donc on suppose ces valeurs inconnues et on rend la question solvable. 4. La question 1 demande de calculer le pourcentage de possesseurs d'écran 5 pouces : $P(E_5)=z$. Utilisons $P(E)=0.34$ : $$0.34=0.30x + 0.25y + 0.40z$$ avec $$x + y + z = 1$$ Sans valeurs précises de $x$ et $y$, la question semble incomplète ou nécessite une donnée manquante. 5. Supposons que la question antérieure mentionne ou donne $P(E_4)$ et $P(E_{4.7})$ (par exemple, $P(E_4)=a$ et $P(E_{4.7})=b$), alors on peut isoler $z$ : $$z = 1 - a - b$$ Ensuite, $$0.34 = 0.30a + 0.25b + 0.40z$$ Donc $$0.34 = 0.30a + 0.25b + 0.40(1 - a - b) = 0.40 - 0.10a - 0.15b$$ Puis, $$-0.06 = -0.10a -0.15b$$ Or, sans $a$,$b$ précis, on ne peut pas calculer $z$. 6. Question 2 : probabilité qu’une personne avec une protection ait un téléphone avec écran 5 pouces : $$P(E_5|E) = \frac{P(E \\cap E_5)}{P(E)} = \frac{P(E|E_5)P(E_5)}{P(E)} = \frac{0.40 \, z}{0.34}$$ Nécessite $z$ 7. Question 3 : probabilité qu’une personne avec protection et dont le téléphone n’a pas un écran 4.7 pouces ait un écran de 5 pouces : $$P(E_5 | E \, \cap \, \neg E_{4.7}) = \frac{P(E_5 \\cap E)}{P(E \\cap (E_4 \, \cup \, E_5))} = \frac{P(E|E_5)P(E_5)}{P(E|E_4)P(E_4) + P(E|E_5)P(E_5)} = \frac{0.40 z}{0.30 x + 0.40 z}$$ Encore, nécessite les valeurs de $x$ et $z$. En résumé, avec les données fournies, les calculs nécessitent les proportions des téléphones avec écrans 4 pouces et 4.7 pouces pour trouver $P(E_5)$ et les probabilités conditionnelles associées.