1. **Énoncé du problème** : Nous avons une classe de 12 élèves répartis selon l'âge et le sexe comme suit : - 18 ans : 4 filles, 3 garçons - 19 ans : 2 filles, 2 garçons - 20 ans : 1 fille, 0 garçon On choisit au hasard et simultanément 3 élèves. Nous devons calculer la probabilité des événements A à F. 2. **Données importantes** : - Total élèves $N=12$ - Nombre de filles $F=4+2+1=7$ - Nombre de garçons $G=3+2+0=5$ - Élèves de plus de 18 ans : $2+2+1+0=5$ - Élèves de 19 ans : $2+2=4$ - Fille de 20 ans : 1 élève 3. **Calcul du nombre total de façons de choisir 3 élèves** : $$\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$$ 4. **Calcul des probabilités** : **A : Les 3 élèves choisis sont des filles** - Nombre de façons de choisir 3 filles parmi 7 : $$\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$$ - Probabilité : $$P(A) = \frac{35}{220} = \frac{7}{44} \approx 0.1591$$ **B : Les 3 élèves choisis ont plus de 18 ans** - Nombre d'élèves > 18 ans : 5 - Nombre de façons de choisir 3 parmi ces 5 : $$\binom{5}{3} = 10$$ - Probabilité : $$P(B) = \frac{10}{220} = \frac{1}{22} \approx 0.0455$$ **C : Les 3 élèves choisis sont de même sexe** - Choisir 3 filles : 35 façons (déjà calculé) - Choisir 3 garçons parmi 5 : $$\binom{5}{3} = 10$$ - Total façons : $$35 + 10 = 45$$ - Probabilité : $$P(C) = \frac{45}{220} = \frac{9}{44} \approx 0.2045$$ **D : Au moins un élève choisi a exactement 19 ans** - Nombre d'élèves de 19 ans : 4 - Probabilité complémentaire (aucun élève de 19 ans) : choisir 3 parmi les 8 autres élèves - $$\binom{8}{3} = 56$$ - Donc $$P(D) = 1 - \frac{56}{220} = 1 - \frac{14}{55} = \frac{41}{55} \approx 0.7455$$ **E : Les 3 élèves choisis ont des âges différents** - Âges possibles : 18, 19, 20 - Pour avoir 3 âges différents, on doit choisir un élève de chaque âge - Nombre d'élèves par âge : 18 ans (7), 19 ans (4), 20 ans (1) - Nombre de façons : $$7 \times 4 \times 1 = 28$$ - Probabilité : $$P(E) = \frac{28}{220} = \frac{7}{55} \approx 0.1273$$ **F : La fille de 20 ans a été choisie** - On fixe la fille de 20 ans choisie - Choisir les 2 autres élèves parmi les 11 restants - Nombre de façons : $$\binom{11}{2} = 55$$ - Probabilité : $$P(F) = \frac{55}{220} = \frac{1}{4} = 0.25$$ **Résumé des probabilités :** - $P(A) = \frac{7}{44}$ - $P(B) = \frac{1}{22}$ - $P(C) = \frac{9}{44}$ - $P(D) = \frac{41}{55}$ - $P(E) = \frac{7}{55}$ - $P(F) = \frac{1}{4}$