1. Énonçons le problème : On a un distributeur qui délivre trois types de boissons : café (C), thé (T), jus d’orange (J). Chaque boisson peut être sucrée (S) ou non sucrée (S\textsuperscript{c}). On connaît plusieurs probabilités partielles et conditionnelles et on doit déterminer plusieurs probabilités composées. 2. Construisons l'arbre pondéré : - Au départ, les branches C, T, J avec $P(C)=\frac{1}{2}$, $P(T)=x$, $P(J)=y$ et $\frac{1}{2}+x+y=1$ donc $x+y=\frac{1}{2}$. - Chaque branche se divise en sucré et non sucré : * $P(S|C) = \frac{5}{9}$ donc $P(S^c|C) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ * $P(S|J) = \frac{1}{3}$ donc $P(S^c|J) = \frac{2}{3}$ - La probabilité d’obtenir un thé sucré $P(T \cap S) = \frac{2}{9}$ connue. Cela implique $P(S|T) = \frac{P(T \cap S)}{P(T)} = \frac{2/9}{x}$. 3. Calculons les probabilités demandées : - Café sucré : $P(C \cap S) = P(C) \times P(S|C) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{18}$. 4. Montrons que $P(J \cap S) = \frac{1}{18}$ : Sachant que la probabilité totale d’obtenir une boisson sucrée est $P(S) = \frac{5}{9}$, $$P(S) = P(C \cap S) + P(T \cap S) + P(J \cap S) = \frac{5}{18} + \frac{2}{9} + P(J \cap S)$$ Convertissons $\frac{2}{9}$ en dix-huitièmes : $\frac{2}{9} = \frac{4}{18}$, alors $$\frac{5}{9} = \frac{5}{18} + \frac{4}{18} + P(J \cap S) = \frac{9}{18} + P(J \cap S)$$ Donc $$P(J \cap S) = \frac{5}{9} - \frac{9}{18} = \frac{10}{18} - \frac{9}{18} = \frac{1}{18}$$ Ce qui correspond à la probabilité demandée. 5. En déduire la probabilité d’obtenir un jus d’orange $P(J)$ : On sait que $P(J \cap S) = P(J) \times P(S|J) = P(J) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$. D’où $$P(J) = \frac{1}{18} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{18} \times 3 = \frac{1}{6}$$ 6. Calculer la probabilité que la boisson sucrée obtenue soit un thé : On utilise la formule des probabilités conditionnelles : $$P(T|S) = \frac{P(T \cap S)}{P(S)} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{2}{5}$$ Réponses finales : - $P(C \cap S) = \frac{5}{18}$ - $P(J \cap S) = \frac{1}{18}$ - $P(J) = \frac{1}{6}$ - $P(T|S) = \frac{2}{5}$