1. **Énoncé du problème :** Nous avons un couple de variables aléatoires discrètes $(X, Y)$ avec la distribution conjointe donnée par le tableau : $$\begin{array}{c|cccc} X \backslash Y & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & 0.13 & 0.08 & 0.08 & 0.04 \\ 2 & 0.06 & 0 & 0.06 & 0.06 \\ 3 & 0.17 & 0.08 & 0.07 & 0.17 \end{array}$$ Nous devons répondre à plusieurs questions sur l'indépendance, l'espérance de $Y$, l'espérance conditionnelle de $X$ sachant $Y=1$, et l'espérance de $Z=XY$. --- 2. **Q17 : Indépendance et propriétés des variables aléatoires** - Rappel : Deux variables $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si pour tout $x,y$, $P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$. - Calculons $P(X=2)$ et $P(Y=1)$ : $$P(X=2) = 0.06 + 0 + 0.06 + 0.06 = 0.18$$ $$P(Y=1) = 0.08 + 0 + 0.08 = 0.16$$ - Vérifions si $P(X=2,Y=1) = P(X=2)P(Y=1)$ : $$P(X=2,Y=1) = 0 \neq 0.18 \times 0.16 = 0.0288$$ Donc, $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes. - $P(X=2,Y=1)=0$ ne signifie pas que $X$ et $Y$ sont incompatibles (incompatibles signifie que $P(X=x,Y=y)=0$ pour tous $x,y$). - $P(Y=0) = 0.13 + 0.06 + 0.17 = 0.36 > 0$ ne suffit pas à conclure à l'indépendance. - Conclusion correcte : a. Le fait que $P(X=2,Y=1)=0$ permet de conclure sans calcul que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes. --- 3. **Q18 : Espérance de $Y$** - Formule de l'espérance : $$E(Y) = \sum_y y \cdot P(Y=y)$$ - Calculons $P(Y=y)$ pour chaque $y$ : $$P(Y=0) = 0.13 + 0.06 + 0.17 = 0.36$$ $$P(Y=1) = 0.08 + 0 + 0.08 = 0.16$$ $$P(Y=2) = 0.08 + 0.06 + 0.07 = 0.21$$ $$P(Y=3) = 0.04 + 0.06 + 0.17 = 0.27$$ - Calcul de $E(Y)$ : $$E(Y) = 0 \times 0.36 + 1 \times 0.16 + 2 \times 0.21 + 3 \times 0.27 = 0 + 0.16 + 0.42 + 0.81 = 1.39$$ - Réponse correcte : b. 1.39 --- 4. **Q19 : Espérance conditionnelle de $X$ sachant $Y=1$** - Formule : $$E(X|Y=1) = \sum_x x \cdot P(X=x|Y=1)$$ - Calcul de $P(Y=1)$ déjà fait : 0.16 - Calcul de $P(X=x,Y=1)$ : $$P(X=1,Y=1) = 0.08$$ $$P(X=2,Y=1) = 0$$ $$P(X=3,Y=1) = 0.08$$ - Calcul de $P(X=x|Y=1) = \frac{P(X=x,Y=1)}{P(Y=1)}$ : $$P(X=1|Y=1) = \frac{0.08}{0.16} = 0.5$$ $$P(X=2|Y=1) = 0$$ $$P(X=3|Y=1) = \frac{0.08}{0.16} = 0.5$$ - Calcul de $E(X|Y=1)$ : $$E(X|Y=1) = 1 \times 0.5 + 2 \times 0 + 3 \times 0.5 = 0.5 + 0 + 1.5 = 2.0$$ - Réponse correcte : a. 2.00 --- 5. **Q20 : Espérance de $Z = XY$** - Formule : $$E(Z) = E(XY) = \sum_x \sum_y x y P(X=x,Y=y)$$ - Calculons chaque terme : $$\begin{aligned} E(Z) &= 1 \times 0 \times 0.13 + 1 \times 1 \times 0.08 + 1 \times 2 \times 0.08 + 1 \times 3 \times 0.04 \\ &+ 2 \times 0 \times 0.06 + 2 \times 1 \times 0 + 2 \times 2 \times 0.06 + 2 \times 3 \times 0.06 \\ &+ 3 \times 0 \times 0.17 + 3 \times 1 \times 0.08 + 3 \times 2 \times 0.07 + 3 \times 3 \times 0.17 \end{aligned}$$ - Simplifions : $$\begin{aligned} E(Z) &= 0 + 0.08 + 0.16 + 0.12 + 0 + 0 + 0.24 + 0.36 + 0 + 0.24 + 0.42 + 1.53 \\ &= 0.08 + 0.16 + 0.12 + 0.24 + 0.36 + 0.24 + 0.42 + 1.53 = 3.15 \end{aligned}$$ - Réponse correcte : d. 3.1500 --- **Résumé des réponses :** - Q17 : a - Q18 : b - Q19 : a - Q20 : d