1. **Nyatakan masalah:** Budi mengambil satu kelereng secara acak dari tiga wadah A, B, dan C secara berurutan dan mendapatkan urutan warna: putih, hitam, putih. Kita diminta menghitung rasio kemungkinan bola hitam terambil dari wadah B dengan kemungkinan bola hitam terambil dari wadah A. 2. **Informasi wadah:** - Wadah A: 3 hitam, 1 putih (total 4 kelereng) - Wadah B: 1 hitam, 2 putih (total 3 kelereng) - Wadah C: 3 putih (total 3 kelereng) 3. **Definisikan variabel:** Misal $X$, $Y$, dan $Z$ adalah wadah yang diambil pada pengambilan pertama, kedua, dan ketiga secara berurutan. Karena Budi tidak tahu label wadah, kita asumsikan pengambilan dari ketiga wadah secara berurutan tanpa pengulangan, sehingga urutan pengambilan wadah adalah permutasi dari A, B, C. 4. **Kemungkinan urutan wadah:** Ada $3! = 6$ kemungkinan urutan wadah yang diambil: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. 5. **Hitung probabilitas urutan warna putih, hitam, putih untuk setiap urutan wadah:** Gunakan probabilitas mengambil warna tertentu dari wadah: - $P(putih|A) = \frac{1}{4}$, $P(hitam|A) = \frac{3}{4}$ - $P(putih|B) = \frac{2}{3}$, $P(hitam|B) = \frac{1}{3}$ - $P(putih|C) = 1$, $P(hitam|C) = 0$ 6. **Hitung probabilitas urutan warna untuk setiap urutan wadah:** - ABC: $P(putih|A) \times P(hitam|B) \times P(putih|C) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{12}$ - ACB: $P(putih|A) \times P(hitam|C) \times P(putih|B) = \frac{1}{4} \times 0 \times \frac{2}{3} = 0$ - BAC: $P(putih|B) \times P(hitam|A) \times P(putih|C) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times 1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ - BCA: $P(putih|B) \times P(hitam|C) \times P(putih|A) = \frac{2}{3} \times 0 \times \frac{1}{4} = 0$ - CAB: $P(putih|C) \times P(hitam|A) \times P(putih|B) = 1 \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ - CBA: $P(putih|C) \times P(hitam|B) \times P(putih|A) = 1 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ 7. **Total probabilitas urutan warna putih, hitam, putih:** $$P = \frac{1}{12} + 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + 1 = \frac{2}{12} + 1 = \frac{1}{6} + 1 = \frac{7}{6}$$ Namun probabilitas total tidak boleh lebih dari 1, jadi kita hitung ulang dengan benar: $$P = \frac{1}{12} + 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{12} + 1 = \frac{1}{6} + 1 = \frac{7}{6}$$ Ternyata ada kesalahan, karena $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$, ditambah $\frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$, totalnya $1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$, lebih dari 1. Kesalahan terjadi karena kita menganggap semua urutan wadah sama mungkin, tapi sebenarnya hanya satu urutan wadah yang benar karena Budi mengambil dari tiga wadah secara berurutan tanpa pengulangan. Jadi probabilitas total urutan warna adalah jumlah probabilitas urutan warna dikalikan probabilitas urutan wadah. 8. **Asumsikan semua urutan wadah sama mungkin dengan probabilitas $\frac{1}{6}$:** Maka probabilitas total urutan warna: $$P = \sum_{i=1}^6 P(urutan warna|urutan wadah_i) \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{12} + 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{12}\right) \times \frac{1}{6} = \frac{7}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{7}{36}$$ 9. **Hitung probabilitas bola hitam terambil dari wadah B:** Bola hitam dari B hanya terjadi pada urutan wadah ABC dan CBA (karena hitam di pengambilan kedua), dan pada urutan BAC dan CAB bola hitam diambil dari A. Probabilitas bola hitam dari B: $$P(B_{hitam}) = P(ABC) + P(CBA) = \frac{1}{12} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{72} + \frac{1}{72} = \frac{2}{72} = \frac{1}{36}$$ 10. **Hitung probabilitas bola hitam terambil dari wadah A:** Bola hitam dari A terjadi pada urutan BAC dan CAB: $$P(A_{hitam}) = P(BAC) + P(CAB) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$ 11. **Hitung rasio kemungkinan bola hitam terambil dari B terhadap A:** $$\text{Rasio} = \frac{P(B_{hitam})}{P(A_{hitam})} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{36} \times \frac{6}{1} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$ **Jawaban akhir:** Rasio kemungkinan bola hitam terambil dari wadah B dengan kemungkinan bola hitam terambil dari wadah A adalah $\boxed{\frac{1}{6}}$.