1. Berikut adalah analisis untuk soal pertama: 1. Ruang Sampel (S) adalah semua kemungkinan hasil ujian mahasiswa, yaitu {Lulus, Tidak Lulus} karena hanya ada dua hasil yang mungkin dari ujian tersebut. 2. Kejadian (A) adalah peristiwa khusus yang ingin dihitung, misalnya ingin mengetahui peluang mahasiswa lulus ujian tanpa belajar. Jadi, A = {Lulus}. 3. Contoh nyata penerapan peluang dalam kehidupan sehari-hari yang berbeda: Peluang mendapatkan hujan besok di kota tertentu berdasarkan ramalan cuaca. 2. Analisis soal kedua tentang jenis kelamin anak dalam keluarga dengan 4 anak: Misalkan jenis kelamin tiap anak diurutkan sebagai L (laki-laki) atau P (perempuan). Ruang sampel $S$ memiliki $2^4=16$ kemungkinan karena tiap anak bisa L atau P. Kejadian: - $A$: keluarga memiliki paling sedikit 2 anak laki-laki. - $B$: anak kedua laki-laki dan anak ketiga perempuan. Langkah: 1. Tentukan $P(A)$: Hitung jumlah hasil dengan paling sedikit 2 L dari 4 anak. Jumlah kemungkinan dengan kurang dari 2 L adalah: - 0 L: semua perempuan, yaitu 1 kombinasi (PPPP) - 1 L: memilih 1 posisi anak laki-laki dari 4, yaitu $C(4,1)=4$ kombinasi Sehingga kombinasi dengan paling sedikit 2 L adalah $16 - 1 - 4 = 11$. Jadi, $$P(A) = \frac{11}{16}$$ 2. Tentukan $P(B)$: Anak kedua harus laki-laki dan anak ketiga perempuan. Set posisi 2 = L dan posisi 3 = P. Posisi 1 dan 4 bebas L atau P, masing-masing ada 2 pilihan. Jumlah kombinasi posisi 1 dan 4 = $2 \times 2 = 4$. Total ruang sampel 16. Jadi, $$P(B) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$ 3. Tentukan $P(A \cap B)$: Kejadian A dan B terjadi bersamaan, yaitu paling sedikit 2 L dengan anak kedua L dan anak ketiga P. Kondisi B sudah menetapkan anak kedua adalah L dan anak ketiga P. Maka untuk minimal 2 L, selain anak kedua (L), kita butuh minimal satu L lagi pada posisi 1 atau 4 (atau keduanya). - Jika posisi 1 = L, posisi 4 bisa L atau P (2 kombinasi) - Jika posisi 1 = P, posisi 4 harus L agar total L minimal 2 (1 kombinasi) - Jika posisi 1 = P, posisi 4 = P hanya 1 L total (anak kedua), tidak memenuhi A Jadi total kombinasi memenuhi $A \cap B$ adalah 3. Maka, $$P(A \cap B) = \frac{3}{16}$$ 4. Peluang bahwa anak laki-laki paling sedikit dua orang jika diketahui anak kedua laki-laki dan anak ketiga perempuan adalah peluang kondisional: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{16}}{\frac{4}{16}} = \frac{3}{4}$$ Jawaban akhir: $$P(A) = \frac{11}{16}, \quad P(B) = \frac{1}{4}, \quad P(A \cap B) = \frac{3}{16}, \quad P(A|B) = \frac{3}{4}$$