1. Énoncé du problème : Le QI suit une loi normale de moyenne $\mu=100$ et d'écart-type $\sigma=15$. On cherche la proportion d'enfants avec un QI inférieur à 70, seuil définissant un retard mental léger. 2. Formule utilisée : Pour une variable normale $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, la probabilité $P(X < x)$ se calcule via la variable centrée réduite $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ qui suit une loi normale standard $\mathcal{N}(0,1)$. 3. Calcul de la proportion $P(X<70)$ : $$Z = \frac{70-100}{15} = \frac{-30}{15} = -2$$ On cherche $P(Z < -2)$. 4. En utilisant la table de la loi normale standard, $P(Z < -2) \approx 0{,}0228$. Donc environ 2,28 % des enfants ont un QI inférieur à 70. 5. Cette base est définie par la règle empirique des lois normales : environ 95 % des valeurs sont dans $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$, donc un QI inférieur à $\mu - 2\sigma = 70$ est considéré comme retard léger. --- 6. Probabilité qu'un enfant ait un QI supérieur à 120 : $$Z = \frac{120-100}{15} = \frac{20}{15} = 1{,}33$$ On cherche $P(X > 120) = P(Z > 1{,}33)$. 7. Avec la table, $P(Z > 1{,}33) = 1 - P(Z \leq 1{,}33) \approx 1 - 0{,}9082 = 0{,}0918$. Donc environ 9,18 % des enfants sont précoces. --- 8. Pour 100 enfants, la variable aléatoire $Y$ nombre d'enfants précoces suit une loi binomiale $B(n=100, p=0{,}0918)$. 9. Approximation normale : $Y \approx \mathcal{N}(np, np(1-p))$ avec $np=9{,}18$ et $np(1-p)=9{,}18 \times 0{,}9082 = 8{,}34$. 10. a) Probabilité que le pourcentage soit entre 7 % et 9 % : On cherche $P(7 \leq \frac{Y}{100} \times 100 \leq 9) = P(7 \leq Y \leq 9)$. 11. On calcule les bornes centrées réduites : $$Z_1 = \frac{7 - 9{,}18}{\sqrt{8{,}34}} = \frac{-2{,}18}{2{,}89} = -0{,}75$$ $$Z_2 = \frac{9 - 9{,}18}{2{,}89} = \frac{-0{,}18}{2{,}89} = -0{,}06$$ 12. Probabilité : $$P(-0{,}75 \leq Z \leq -0{,}06) = P(Z \leq -0{,}06) - P(Z \leq -0{,}75) \approx 0{,}4762 - 0{,}2266 = 0{,}2496$$ Soit environ 24,96 %. 13. b) Probabilité que le pourcentage soit supérieur à 14 % : $$P\left(\frac{Y}{100} > 14\right) = P(Y > 14)$$ 14. Calcul de $Z$ : $$Z = \frac{14 - 9{,}18}{2{,}89} = \frac{4{,}82}{2{,}89} = 1{,}67$$ 15. Probabilité : $$P(Z > 1{,}67) = 1 - P(Z \leq 1{,}67) \approx 1 - 0{,}9525 = 0{,}0475$$ Soit environ 4,75 %. 16. c) Intervalle de fluctuation à 95 % du pourcentage d'enfants précoces : L'intervalle est donné par $$p \pm 1{,}96 \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$ 17. Calcul : $$1{,}96 \times \sqrt{\frac{0{,}0918 \times 0{,}9082}{100}} = 1{,}96 \times \sqrt{0{,}000833} = 1{,}96 \times 0{,}0289 = 0{,}0567$$ 18. Intervalle : $$[0{,}0918 - 0{,}0567, 0{,}0918 + 0{,}0567] = [0{,}0351, 0{,}1485]$$ Soit entre 3,51 % et 14,85 %. --- 19. Pour 400 enfants, $Y \sim B(400, 0{,}0918)$, approximation normale : $$np = 400 \times 0{,}0918 = 36{,}72$$ $$np(1-p) = 36{,}72 \times 0{,}9082 = 33{,}34$$ 20. Intervalle de fluctuation à 95 % du nombre d'enfants précoces : $$np \pm 1{,}96 \times \sqrt{np(1-p)} = 36{,}72 \pm 1{,}96 \times \sqrt{33{,}34}$$ 21. Calcul de l'écart-type : $$\sqrt{33{,}34} = 5{,}77$$ 22. Intervalle : $$36{,}72 \pm 1{,}96 \times 5{,}77 = 36{,}72 \pm 11{,}31 = [25{,}41, 48{,}03]$$ 23. Conclusion : L'intervalle de fluctuation à 95 % du nombre d'enfants précoces parmi 400 est environ entre 25 et 48 enfants. --- Ce résultat montre que l'intervalle est plus étroit (moins dispersé) que pour 100 enfants, ce qui est attendu car la variance relative diminue avec la taille de l'échantillon.