1. **Exercice 20 : Analyse des événements et de leurs contraires** L'urne contient 5 boules rouges (R) et 3 boules vertes (V). On tire 3 boules simultanément. - L'événement « Tirer au moins deux boules rouges » signifie tirer 2 ou 3 boules rouges. - Son événement contraire est donc « Tirer moins de deux boules rouges », c'est-à-dire 0 ou 1 boule rouge. Affirmations : - « Tirer deux boules rouges et une boule verte » : c'est un cas particulier de « Tirer au moins deux boules rouges », donc ce n'est pas l'événement contraire. - « Tirer au plus deux boules rouges » signifie 0, 1 ou 2 boules rouges. Ce n'est pas l'événement contraire car il inclut 2 rouges. - « Tirer au plus une boule rouge » signifie 0 ou 1 boule rouge, ce qui correspond bien à l'événement contraire de « Tirer au moins deux boules rouges ». - « Tirer au plus une boule verte » signifie 0 ou 1 boule verte, ce qui n'est pas l'événement contraire. **Réponses Exercice 20 :** - L'événement contraire de « Tirer au moins deux boules rouges » est « Tirer au plus une boule rouge » : **Vrai** - « Tirer deux boules rouges et une boule verte » : **Faux** - « Tirer au plus deux boules rouges » : **Faux** - « Tirer au plus une boule verte » : **Faux** 2. **Exercice 21 : Lancer de deux dés** 1. Trois éventualités composées chacune d’un chiffre pair (sur deux dés) : - (2,4) - (6,6) - (4,2) 2. Le cardinal de l'univers des possibles est le nombre total de couples (premier dé, deuxième dé) : $$6 \times 6 = 36$$ 3. Probabilités : A : « Le premier chiffre est pair » - Les chiffres pairs sont 2, 4, 6, donc 3 possibilités sur 6 pour le premier dé. - Le deuxième dé peut être n'importe quel chiffre (6 possibilités). - Nombre de cas favorables : $$3 \times 6 = 18$$ - Probabilité : $$\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$$ B : « Les deux chiffres sont consécutifs » - Les couples consécutifs sont ceux où la différence entre les chiffres est 1. - Couples possibles : (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5) - Nombre de cas favorables : 10 - Probabilité : $$\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$$ 3. **Exercice 22 : Loi de probabilité d'une variable aléatoire** Sac contient 4 bleus (B), 3 verts (V), 1 rose (R). On tire 3 jetons sans remise. 1. Valeurs possibles de X = nombre de jetons verts tirés : $$X \in \{0,1,2,3\}$$ 2. Calcul de la loi de probabilité de X : - Total de jetons : 8 - Nombre total de tirages de 3 jetons : $$\binom{8}{3} = 56$$ - Pour chaque valeur de X, calculons le nombre de tirages correspondants : $$P(X=0) = \frac{\binom{5}{3}}{56} = \frac{10}{56}$$ car on choisit 3 jetons parmi les 5 non-verts (4B + 1R = 5) $$P(X=1) = \frac{\binom{3}{1} \times \binom{5}{2}}{56} = \frac{3 \times 10}{56} = \frac{30}{56}$$ $$P(X=2) = \frac{\binom{3}{2} \times \binom{5}{1}}{56} = \frac{3 \times 5}{56} = \frac{15}{56}$$ $$P(X=3) = \frac{\binom{3}{3} \times \binom{5}{0}}{56} = \frac{1 \times 1}{56} = \frac{1}{56}$$ 3. Espérance mathématique : $$E(X) = 0 \times \frac{10}{56} + 1 \times \frac{30}{56} + 2 \times \frac{15}{56} + 3 \times \frac{1}{56} = \frac{0 + 30 + 30 + 3}{56} = \frac{63}{56} = 1.125$$ 4. Variance : $$E(X^2) = 0^2 \times \frac{10}{56} + 1^2 \times \frac{30}{56} + 2^2 \times \frac{15}{56} + 3^2 \times \frac{1}{56} = \frac{0 + 30 + 60 + 9}{56} = \frac{99}{56}$$ $$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{99}{56} - \left(\frac{63}{56}\right)^2 = \frac{99}{56} - \frac{3969}{3136} \approx 1.7679 - 1.266 = 0.5019$$ 5. Écart-type : $$\sigma = \sqrt{Var(X)} \approx \sqrt{0.5019} \approx 0.708$$