1. **Énoncé du problème :** Nous avons un tirage de boules vertes et rouges numérotées dans une urne. On effectue des tirages avec ou sans remise selon la couleur tirée, et on doit calculer diverses probabilités et espérances liées à ces tirages. 2. **Données :** - 3 boules vertes numérotées 1, 2, 3. - 4 boules rouges numérotées 3, 1, 2, 3, 1 (il semble y avoir une répétition, on suppose 4 rouges distinctes numérotées 1, 2, 3, 1). 3. **Questions :** - 1) Trouver le nombre total de possibilités. - 2) (a) Calculer les probabilités des événements A (deux boules de couleurs différentes) et C (une boule rouge puis une verte). - 2) (b) Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur. - 3) Montrer que la probabilité de l'événement B (produit des numéros est un carré parfait) est $\frac{5}{21}$. - Autres questions sur un tirage avec règles spécifiques et calcul de l'espérance et variance du nombre de boules rouges restantes. --- ### Résolution du premier problème (1, 2a, 2b, 3) : **1) Nombre total de possibilités :** - Total de boules = 3 vertes + 4 rouges = 7. - On tire 2 boules successivement sans remise. - Nombre de façons de choisir 2 boules parmi 7 : $C_7^2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$. **2a) Probabilité de A (deux boules de couleurs différentes) :** - Nombre de façons de choisir 1 rouge et 1 verte : $3 \times 4 = 12$ (car ordre compte ici, tirage successif). - Nombre total d'ordres possibles pour 2 tirages : $7 \times 6 = 42$ (car tirage successif sans remise). - Probabilité A = $\frac{12}{42} = \frac{2}{7}$. **2a) Probabilité de C (rouge puis verte) :** - Nombre de façons : - Tirer rouge en premier : 4 possibilités. - Tirer verte en second : 3 possibilités. - Total : $4 \times 3 = 12$. - Total tirages possibles : 42. - Probabilité C = $\frac{12}{42} = \frac{2}{7}$. **2b) Probabilité de deux boules de même couleur :** - Total tirages = 42. - Tirer 2 rouges successivement : $4 \times 3 = 12$. - Tirer 2 vertes successivement : $3 \times 2 = 6$. - Total = 12 + 6 = 18. - Probabilité = $\frac{18}{42} = \frac{3}{7}$. **3) Probabilité de B (produit des numéros est un carré parfait) :** - Les numéros rouges : 1, 2, 3, 1 (on suppose 4 rouges avec numéros 1, 2, 3, 1). - Les numéros vertes : 1, 2, 3. - On calcule les paires (ordre compte) dont le produit est un carré parfait. - Paires possibles (rouge puis verte) : - (1,1) produit 1 (carré parfait) - (1,1) produit 1 - (2,2) produit 4 (carré parfait) - (3,3) produit 9 (carré parfait) - Paires (verte puis rouge) similaires. - En comptant toutes les paires avec produit carré parfait, on trouve 10 cas favorables sur 42 tirages. - Simplification : $\frac{10}{42} = \frac{5}{21}$. --- ### Résumé : - Nombre total de tirages : 21 combinaisons ou 42 tirages ordonnés. - $P(A) = \frac{2}{7}$. - $P(C) = \frac{2}{7}$. - $P(\text{deux mêmes couleurs}) = \frac{3}{7}$. - $P(B) = \frac{5}{21}$. --- ### Desmos : Fonction non spécifiée pour ce problème, donc vide.