1. Énoncé du problème : On a une urne contenant 9 boules : 6 blanches, 3 noires. On tire 3 boules simultanément ou successivement selon les cas. 2. Calcul du nombre total de tirages simultanés possibles (a) : Le nombre de façons de tirer 3 boules parmi 9 est $$\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!6!} = 84.$$ 3. Calcul des probabilités simultanées (tirage sans ordre) : A : "Obtenir trois boules de même couleur" = soit 3 blanches ou 3 noires. - Nombre de tirages 3 blanches = $$\binom{6}{3} = 20.$$ - Nombre de tirages 3 noires = $$\binom{3}{3} = 1.$$ - Total favorable = 21 - Probabilité $$P(A) = \frac{21}{84} = \frac{1}{4} = 0.25.$$ B : "Obtenir au plus une boule noire" = 0 ou 1 boule noire. - Tirages 0 noire = 3 blanches = 20 (vu ci-dessus) - Tirages 1 noire = choisir 1 noire parmi 3 et 2 blanches parmi 6: $$\binom{3}{1} \times \binom{6}{2} = 3 \times 15 = 45.$$ - Total favorable = 20 + 45 = 65 - Probabilité $$P(B) = \frac{65}{84} \approx 0.7738.$$ 4. Calcul des probabilités successives (avec ordre, sans remise) : Tirages 3 boules successivement sans remise (ordre compte). Total possibilités = $$9 \times 8 \times 7 = 504.$$ C : "Obtenir deux boules blanches et une noire dans l'ordre". Les ordres possibles sont (B, B, N), (B, N, B), (N, B, B). Calculons pour (B, B, N) : - 1er tirage blanc : $$\frac{6}{9}.$$ - 2e tirage blanc : $$\frac{5}{8}$$ (une blanche en moins). - 3e tirage noir : $$\frac{3}{7}.$$ Produit : $$\frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{90}{504} = \frac{15}{84}.$$ Pour chaque ordre, la probabilité est la même (en multipliant les chances selon l'ordre des tirages). Donc probabilité totale : $$P(C) = 3 \times \frac{15}{84} = \frac{45}{84} = \frac{15}{28} \approx 0.5357.$$ D : "Obtenir au moins une boule noire". C'est le complément de "pas de boule noire" (toutes blanches). - Probabilité toutes blanches successives: $$\frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{120}{504} = \frac{5}{21}.$$ - Donc $$P(D) = 1 - \frac{5}{21} = \frac{16}{21} \approx 0.7619.$$ 5. Événements C₁, C₂, C₃, C₄, C₅ (non précisés dans l'urne, donc variables) : - C₁ : "une boule blanche, une noire, une verte" dans un certain ordre. Ici, pas de vert, donc probabilité nulle. - C₂ : "deux blanches au premier et au dernier tirage" (si tirage successif) - C₃ : "deux blanches" (au moins ? exact ?) -- nécessite précision tirage. - C₄ : "boules de même couleur" (calculé en A) - C₅ : "boules de couleurs différentes" (par exemple 3 couleurs différentes, improbable ici sans vert) Sans détails complémentaires, ces événements nécessiteraient plus d'infos. Pour résumé, voici les réponses calculées pour l'exercice posé.