1. **Énoncé du problème :** On a deux exploitations U et V qui fournissent du sucre. 30 % des paquets viennent de U, 70 % de V. On sait que 3 % des paquets de U portent le label extrafin, et 5 % des paquets de V portent ce label. 2. **Formules et règles importantes :** - Probabilité totale d'un événement : $$P(E) = P(U) \times P(E|U) + P(V) \times P(E|V)$$ - Probabilité conditionnelle : $$P(U|E) = \frac{P(U \cap E)}{P(E)} = \frac{P(U) \times P(E|U)}{P(E)}$$ 3. **Calcul de la probabilité que le paquet porte le label extrafin (question 1a) :** $$P(E) = 0.3 \times 0.03 + 0.7 \times 0.05 = 0.009 + 0.035 = 0.044$$ 4. **Calcul de la probabilité que le sucre provienne de U sachant que le paquet porte le label extrafin (question 1b) :** $$P(U|E) = \frac{0.3 \times 0.03}{0.044} = \frac{0.009}{0.044} \approx 0.205$$ Arrondi au millième : 0.205 5. **Modification de l'approvisionnement (question 2) :** On cherche $x = P(U)$ et $1-x = P(V)$ tels que parmi les paquets extrafin, 30 % viennent de U : $$P(U|E) = 0.3 = \frac{x \times 0.03}{x \times 0.03 + (1-x) \times 0.05}$$ 6. **Résolution de l'équation :** $$0.3 \left(x \times 0.03 + (1-x) \times 0.05\right) = x \times 0.03$$ $$0.3 \times 0.03 x + 0.3 \times 0.05 - 0.3 \times 0.05 x = 0.03 x$$ $$0.009 x + 0.015 - 0.015 x = 0.03 x$$ $$0.015 = 0.03 x - 0.009 x + 0.015 x = 0.036 x$$ $$x = \frac{0.015}{0.036} \approx 0.417$$ 7. **Conclusion :** L'entreprise doit approvisionner environ 41.7 % de ses paquets avec du sucre provenant de U et 58.3 % de V pour que 30 % des paquets extrafin viennent de U.