1. **Énoncé du problème :** Dans un pays donné, une maladie M touche 5 individus pour 1000 de la population. On a : - $P(M) = \frac{5}{1000} = 0.005$ (probabilité qu'un individu soit malade) - $P(T|M) = 0.8$ (probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est malade) - $P(T^c|M^c) = 0.9$ (probabilité d'avoir un test négatif sachant qu'on n'est pas malade) 2. **Déterminer sans calcul $P(M)$, $P(T|M)$ et $P(T|M^c)$ :** - $P(M) = 0.005$ (donné) - $P(T|M) = 0.8$ (donné) - $P(T|M^c) = 1 - P(T^c|M^c) = 1 - 0.9 = 0.1$ 3. **Montrer que $P(T \cap M) = P(M)(1 - P(T|M))$ :** Cette affirmation est incorrecte car par définition : $$P(T \cap M) = P(M) \times P(T|M)$$ Donc la bonne formule est : $$P(T \cap M) = P(M) P(T|M)$$ 4. **Calculer les probabilités demandées :** (a) Probabilité qu'un individu ait un test positif : $$P(T) = P(T \cap M) + P(T \cap M^c) = P(M)P(T|M) + P(M^c)P(T|M^c)$$ $$= 0.005 \times 0.8 + (1 - 0.005) \times 0.1 = 0.004 + 0.995 \times 0.1 = 0.004 + 0.0995 = 0.1035$$ (b) Probabilité d'être malade sachant que le test est positif (formule de Bayes) : $$P(M|T) = \frac{P(T \cap M)}{P(T)} = \frac{P(M)P(T|M)}{P(T)} = \frac{0.005 \times 0.8}{0.1035} = \frac{0.004}{0.1035} \approx 0.0386$$ (c) Probabilité d'être malade sachant que le test est négatif : $$P(M|T^c) = \frac{P(T^c \cap M)}{P(T^c)} = \frac{P(M)P(T^c|M)}{1 - P(T)}$$ Or $P(T^c|M) = 1 - P(T|M) = 1 - 0.8 = 0.2$ et $P(T^c) = 1 - P(T) = 1 - 0.1035 = 0.8965$ Donc : $$P(M|T^c) = \frac{0.005 \times 0.2}{0.8965} = \frac{0.001}{0.8965} \approx 0.00112$$ 5. **Fiabilité du test :** - Le test détecte correctement 80% des malades (sensibilité). - Il donne un résultat négatif correct 90% du temps chez les non-malades (spécificité). - Cependant, la probabilité d'être malade quand le test est positif est faible (environ 3.86%) à cause de la faible prévalence de la maladie. - Le test est donc fiable pour détecter les malades, mais un test positif nécessite une confirmation. **Réponse finale :** (a) $P(T) = 0.1035$ (b) $P(M|T) \approx 0.0386$ (c) $P(M|T^c) \approx 0.00112$