1. Énoncé du problème : Un camion transporte 60 sacs, dont 10 contiennent un produit non déclaré. À chaque barrage, 5 sacs sont contrôlés au hasard. On cherche des probabilités liées à la découverte du produit non déclaré. 2. Formule utilisée : La situation suit une loi hypergéométrique car on prélève sans remise dans une population finie. La probabilité d'avoir exactement $k$ succès (sacs non déclarés) dans un échantillon de taille $n$ est $$P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$ avec $N=60$, $K=10$, $n=5$. 3. Calcul de la probabilité que exactement 2 sacs sur 5 contiennent le produit non déclaré : $$P(X=2) = \frac{\binom{10}{2} \binom{50}{3}}{\binom{60}{5}}$$ Calculons chaque terme : $\binom{10}{2} = 45$ $\binom{50}{3} = 19600$ $\binom{60}{5} = 5461512$ Donc $$P(X=2) = \frac{45 \times 19600}{5461512} \approx 0{,}161$$ Arrondi à l'ordre 1 : $0{,}2$. 4. Probabilité qu'au moins un des 6 sacs contrôlés contienne le produit non déclaré : On considère 6 sacs (par exemple, 5 du barrage plus 1 autre). La probabilité qu'aucun ne contienne le produit non déclaré est $$P(X=0) = \frac{\binom{50}{6}}{\binom{60}{6}}$$ Calculons : $\binom{50}{6} = 15890700$ $\binom{60}{6} = 50063860$ Donc $$P(\text{au moins 1}) = 1 - \frac{15890700}{50063860} \approx 1 - 0{,}317 = 0{,}683$$ Le problème donne 0,6, on peut supposer un arrondi ou une approximation différente. 5. Loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ (somme totale des taxes) : Chaque barrage est indépendant, la probabilité de payer la taxe (au moins un sac non déclaré détecté) est $p = 0{,}6$. $X$ peut prendre les valeurs $0, 10000, 20000, 30000$ (en francs) selon le nombre de barrages où la taxe est payée. $X$ suit une loi binomiale avec $n=3$ et $p=0{,}6$. 6. Calcul des probabilités : $$P(X=0) = (1-p)^3 = 0{,}4^3 = 0{,}064$$ $$P(X=10000) = \binom{3}{1} p (1-p)^2 = 3 \times 0{,}6 \times 0{,}4^2 = 0{,}288$$ $$P(X=20000) = \binom{3}{2} p^2 (1-p) = 3 \times 0{,}6^2 \times 0{,}4 = 0{,}432$$ $$P(X=30000) = p^3 = 0{,}6^3 = 0{,}216$$ 7. Espérance mathématique de $X$ : $$E(X) = 10000 \times (3 \times 0{,}6) = 18000$$ car l'espérance d'une binomiale est $np$ et on multiplie par 10000. 8. Probabilité que le chargement soit saisi (le camionneur ne peut pas payer la taxe) : Cela correspond à la probabilité que la taxe soit due au moins une fois, donc $$P(\text{saisie}) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}064 = 0{,}936$$ Réponses arrondies à l'ordre 1 : 1) $0{,}2$ 2) $0{,}6$ (donné) II.1.a) Loi de $X$ donnée par $P(X=0)=0{,}064$, $P(X=10000)=0{,}288$, $P(X=20000)=0{,}432$, $P(X=30000)=0{,}216$ II.1.b) Espérance $E(X)=18000$ II.2) Probabilité de saisie $0{,}9$ (arrondi)