1. Énoncé du problème : On considère deux événements $A$ et $B$ dans un espace probabilisé. On cherche à comprendre la probabilité conditionnelle $P(A|B)$, c'est-à-dire la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ est réalisé. 2. Formule de la probabilité conditionnelle : $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Cette formule est valable uniquement si $P(B) > 0$. 3. Rappel important : - $P(A \cap B)$ est la probabilité que les deux événements $A$ et $B$ se produisent simultanément. - $P(B)$ est la probabilité que l'événement $B$ se produise. 4. Exemple d'application : Supposons que dans une classe, 60% des élèves aiment les mathématiques ($M$) et 40% aiment la physique ($P$). Parmi ceux qui aiment la physique, 25% aiment aussi les mathématiques. On a donc : - $P(P) = 0.4$ - $P(M \cap P) = P(M|P) \times P(P) = 0.25 \times 0.4 = 0.1$ 5. Calcul de $P(M|P)$ : $$P(M|P) = \frac{P(M \cap P)}{P(P)} = \frac{0.1}{0.4} = 0.25$$ 6. Interprétation : La probabilité qu'un élève aime les mathématiques sachant qu'il aime la physique est de 25%. 7. Conclusion : La probabilité conditionnelle permet de réviser la probabilité d'un événement en tenant compte d'une information supplémentaire (ici, la réalisation de $B$).