1. **Énoncé du problème :** Nous avons trois gènes $G_1$, $G_2$, $G_3$ avec des taux de mutation respectifs de 2 %, 3 % et 5 %. Ces gènes sont indépendants. 2. **Objectif :** Trouver le nombre d'animaux sur 50 000 qui ont au moins deux gènes mutés. 3. **Formule et règles importantes :** - La probabilité qu'un gène $G_i$ soit muté est $p_i$. - Les gènes sont indépendants, donc la probabilité conjointe est le produit des probabilités. - On cherche la probabilité que **au moins deux** gènes soient mutés, soit 2 ou 3 gènes mutés. 4. **Calcul des probabilités :** - $p_1 = 0{,}02$, $p_2 = 0{,}03$, $p_3 = 0{,}05$ - Probabilité qu'un gène ne soit pas muté : $q_i = 1 - p_i$ 5. **Calcul de la probabilité que exactement deux gènes soient mutés :** $$P(2) = p_1 p_2 q_3 + p_1 q_2 p_3 + q_1 p_2 p_3$$ $$= 0{,}02 \times 0{,}03 \times (1 - 0{,}05) + 0{,}02 \times (1 - 0{,}03) \times 0{,}05 + (1 - 0{,}02) \times 0{,}03 \times 0{,}05$$ $$= 0{,}02 \times 0{,}03 \times 0{,}95 + 0{,}02 \times 0{,}97 \times 0{,}05 + 0{,}98 \times 0{,}03 \times 0{,}05$$ $$= 0{,}00057 + 0{,}00097 + 0{,}00147 = 0{,}00301$$ 6. **Calcul de la probabilité que les trois gènes soient mutés :** $$P(3) = p_1 p_2 p_3 = 0{,}02 \times 0{,}03 \times 0{,}05 = 0{,}00003$$ 7. **Probabilité totale que la mutation génétique ait lieu (au moins deux gènes mutés) :** $$P = P(2) + P(3) = 0{,}00301 + 0{,}00003 = 0{,}00304$$ 8. **Calcul du nombre d'animaux concernés sur 50 000 :** $$N = 50\,000 \times 0{,}00304 = 152$$ **Réponse finale :** Environ 152 animaux présenteront cette mutation génétique.