1. Énoncé du devoir : Ce devoir contient des questions de cours et trois exercices sur les probabilités et les statistiques. 2. Questions de cours : 1) Loi des grands nombres (faible) : Énoncé : Si $(X_i)_{i\ge 1}$ sont i.i.d. de moyenne $\mu$ finie, alors la moyenne empirique $\bar{X}_n$ converge en probabilité vers $\mu$. Formule : $\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ et $\bar{X}_n \xrightarrow{P} \mu$. Remarque : cela signifie que pour tout $\varepsilon>0$, $\lim_{n\to\infty} P(|\bar{X}_n-\mu|>\varepsilon)=0$. 2) Théorème central limite : Énoncé : Si $(X_i)$ i.i.d. de moyenne $\mu$ et variance $\sigma^2>0$, alors la loi de la moyenne centrée et réduite tend vers la loi normale standard. Formule : $\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$. Remarque : pour grandes $n$, $\bar{X}_n\approx N\big(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\big)$. 3. Exercice I : loi d'une v.a. discrète : Énoncé : Une urne contient $n$ boules blanches et $n$ boules noires, on tire sans remise, et $X$ est le nombre de tirages nécessaires pour épuiser toutes les boules noires. Interprétation : $X$ est la position du dernier tirage contenant une boule noire dans une permutation aléatoire des $2n$ boules. Calcul : Toutes les configurations sont équiprobables, donc pour $k\in\{n,\dots,2n\}$ $$P(X=k)=\frac{\binom{k-1}{n-1}}{\binom{2n}{n}}$$ Explication : choisir les autres $n-1$ positions des boules noires parmi les $k-1$ premières positions donne $\binom{k-1}{n-1}$ cas favorables et il y a $\binom{2n}{n}$ positions pour les $n$ boules noires. Domaines : $P(X=k)=0$ pour $k\notin\{n,\dots,2n\}$. 4. Exercice II : utilisation d'une table de $N(0,1)$ : Énoncé : $Z\sim N(0,1)$. a) $P(Z<1.2)$. Calcul : $P(Z<1.2)=\Phi(1.2)\approx 0.8849$. b) $P(0.80.01)$. Calcul : $P(|Z|>0.01)=2\big(1-\Phi(0.01)\big)\approx 2(1-0.5040)=0.9920$. f) $P(|Z|<0.22)$. Calcul : $P(|Z|<0.22)=2\Phi(0.22)-1\approx 2(0.5871)-1=0.1742$. 5. Exercice III : intervalle de confiance 95% pour la moyenne : Énoncé : $n=12$, $\bar{x}=58$, et $\dfrac{1}{12}\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^2=99$. Calcul de la variance empirique : $\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^2=12\times 99=1188$. Estimation non biaisée : $s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\dfrac{1188}{11}=108$. Donc $s=\sqrt{108}\approx 10.3923$. Intervalle de confiance : utiliser la loi $t$ avec $\nu=11$ degrés de liberté et $t_{0.975,11}\approx 2.201$. Marge d'erreur : $ME=t_{0.975,11}\dfrac{s}{\sqrt{n}}\approx 2.201\dfrac{10.3923}{\sqrt{12}}\approx 6.606$. IC à 95% : $\bar{x}\pm ME$, donc approximativement $[58-6.606,\;58+6.606]=[51.394,\;64.606]$. Conclusion : l'intervalle de confiance à 95% pour la moyenne est environ $[51.39,\;64.61]$.