1. **Énoncé du problème** : Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et la variance $V(X)$ d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de paramètres inconnus, sachant que $P(X < 48) = 0,9772$ et $P(X > 36) = 0,1587$. 2. **Rappel des propriétés de la loi normale** : - La variable $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec espérance $\mu$ et écart-type $\sigma$. - La variable centrée réduite $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ suit une loi normale standard $\mathcal{N}(0,1)$. - On utilise les tables de la loi normale standard pour trouver les quantiles. 3. **Traduction des probabilités en termes de $Z$** : - $P(X < 48) = 0,9772$ implique $P\left(Z < \frac{48 - \mu}{\sigma}\right) = 0,9772$. - $P(X > 36) = 0,1587$ implique $P\left(Z > \frac{36 - \mu}{\sigma}\right) = 0,1587$ donc $P\left(Z < \frac{36 - \mu}{\sigma}\right) = 1 - 0,1587 = 0,8413$. 4. **Utilisation des tables de la loi normale standard** : - $P(Z < z_1) = 0,9772$ correspond à $z_1 = 2$ (car $\Phi(2) \approx 0,9772$). - $P(Z < z_2) = 0,8413$ correspond à $z_2 = 1$ (car $\Phi(1) \approx 0,8413$). 5. **Équations à résoudre** : $$\frac{48 - \mu}{\sigma} = 2$$ $$\frac{36 - \mu}{\sigma} = 1$$ 6. **Résolution du système** : - De la première équation : $48 - \mu = 2\sigma$. - De la deuxième équation : $36 - \mu = \sigma$. Soustrayons la deuxième de la première : $$ (48 - \mu) - (36 - \mu) = 2\sigma - \sigma \Rightarrow 12 = \sigma $$ 7. **Calcul de $\mu$** : $$ 36 - \mu = 12 \Rightarrow \mu = 36 - 12 = 24 $$ 8. **Conclusion** : - L'espérance est $E(X) = \mu = 24$. - La variance est $V(X) = \sigma^2 = 12^2 = 144$. **Réponse finale** : $$E(X) = 24, \quad V(X) = 144.$$