1. **Énoncé du problème :** Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires, soit un total de 10 boules. Un joueur tire successivement 5 boules. On note $B$ le nombre de boules blanches tirées et $N$ le nombre de boules noires tirées. 2. **Tirages sans remise :** **a. Déterminer la loi de $B$ (et de $N$) :** - Le tirage sans remise suit une loi hypergéométrique. - La probabilité d'obtenir $k$ boules blanches parmi 5 tirées est donnée par : $$P(B=k) = \frac{\binom{2}{k} \binom{8}{5-k}}{\binom{10}{5}}$$ - $k$ peut prendre les valeurs $0,1,2$ car il n'y a que 2 boules blanches. - Comme $N = 5 - B$, la loi de $N$ est déduite directement de celle de $B$. **b. Calculer $E(B)$ et $V(B)$ (et $E(N)$, $V(N)$) :** - Pour une loi hypergéométrique $H(N, K, n)$ où $N=10$ (total), $K=2$ (blanches), $n=5$ (tirages), - L'espérance est : $$E(B) = n \times \frac{K}{N} = 5 \times \frac{2}{10} = 1$$ - La variance est : $$V(B) = n \times \frac{K}{N} \times \left(1 - \frac{K}{N}\right) \times \frac{N-n}{N-1} = 5 \times \frac{2}{10} \times \frac{8}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{40}{90} = \frac{4}{9} \approx 0.4444$$ - Pour $N = 5 - B$ : - $E(N) = 5 - E(B) = 4$ - $V(N) = V(B) = \frac{4}{9}$ car la variance est la même pour $B$ et $N$. 3. **Tirages avec remise :** **a. Loi de $B$ (et $N$) :** - Les tirages avec remise suivent une loi binomiale. - La probabilité d'obtenir $k$ boules blanches parmi 5 tirées est : $$P(B=k) = \binom{5}{k} \left(\frac{2}{10}\right)^k \left(\frac{8}{10}\right)^{5-k}$$ - $k$ varie de 0 à 5. - $N = 5 - B$ donc la loi de $N$ est aussi binomiale avec paramètre $p=\frac{8}{10}$. **b. Calculer $E(B)$ et $V(B)$ (et $E(N)$, $V(N)$) :** - Pour une loi binomiale $B(n,p)$ avec $n=5$ et $p=\frac{2}{10}$ : - Espérance : $$E(B) = n p = 5 \times \frac{2}{10} = 1$$ - Variance : $$V(B) = n p (1-p) = 5 \times \frac{2}{10} \times \frac{8}{10} = 0.8$$ - Pour $N = 5 - B$ avec $p=\frac{8}{10}$ : - $E(N) = 5 \times \frac{8}{10} = 4$ - $V(N) = 5 \times \frac{8}{10} \times \frac{2}{10} = 0.8$ **Résumé :** - Sans remise : $B \sim$ hypergéométrique, $E(B)=1$, $V(B)=\frac{4}{9}$ - Avec remise : $B \sim$ binomiale, $E(B)=1$, $V(B)=0.8$ Cela illustre que la variance est plus faible sans remise car les tirages sont dépendants.