1. **Énoncé du problème :** On teste un traitement sur un groupe de personnes souffrant de migraine. La probabilité qu'une personne soit guérie au bout de trois heures est $p=0.2$. On note $X$ le nombre de personnes guéries. 2. **Loi de probabilité suivie par $X$ pour 5 personnes :** $X$ suit une loi binomiale $B(n=5, p=0.2)$ car chaque personne guérie est un succès indépendant avec probabilité $p$. 3. **Espérance et variance de $X$ :** Pour une loi binomiale $B(n,p)$, l'espérance est $E(X) = np$ et la variance $Var(X) = np(1-p)$. Calculs : $$E(X) = 5 \times 0.2 = 1$$ $$Var(X) = 5 \times 0.2 \times 0.8 = 0.8$$ 4. **Probabilité d'avoir moins de deux guérisons (i.e. $X < 2$) pour $n=5$ :** $$P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$$ Avec la formule binomiale : $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ Calculs : $$P(X=0) = \binom{5}{0} 0.2^0 0.8^5 = 1 \times 1 \times 0.8^5 = 0.32768$$ $$P(X=1) = \binom{5}{1} 0.2^1 0.8^4 = 5 \times 0.2 \times 0.4096 = 0.4096$$ Donc : $$P(X<2) = 0.32768 + 0.4096 = 0.73728$$ 5. **Loi suivie par $X$ pour 20 personnes et probabilité d'avoir moins de deux guérisons :** $X$ suit $B(n=20, p=0.2)$. Calcul de $P(X<2)$ : $$P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)$$ $$P(X=0) = \binom{20}{0} 0.2^0 0.8^{20} = 1 \times 1 \times 0.8^{20} \approx 0.0115$$ $$P(X=1) = \binom{20}{1} 0.2^1 0.8^{19} = 20 \times 0.2 \times 0.8^{19} \approx 0.0576$$ Donc : $$P(X<2) \approx 0.0115 + 0.0576 = 0.0691$$ **Résumé :** - $X \sim B(5,0.2)$ avec $E(X)=1$, $Var(X)=0.8$. - $P(X<2)$ pour $n=5$ est environ 0.737. - Pour $n=20$, $X \sim B(20,0.2)$ et $P(X<2)$ est environ 0.069.