1. **Énoncé du problème :** Un joueur mise 100 francs avant un tirage de 4 boules. Selon le tirage, il peut perdre sa mise, gagner le double de sa mise, ou récupérer sa mise. La variable aléatoire $X$ représente le gain algébrique (gain moins mise). 2. **Définition des valeurs de $X$ :** - Si le joueur tire plus de boules noires que blanches, il perd sa mise : $X = -100$. - Si le joueur tire exactement 3 boules blanches et 1 noire, il reçoit le double de sa mise, soit 200 francs, donc $X = 200 - 100 = 100$. - Pour tous les autres tirages, il récupère sa mise, donc $X = 0$. 3. **Justification des valeurs prises par $X$ :** Les valeurs possibles sont donc $-100$, $0$, et $100$. 4. **Calcul des probabilités associées :** Soit $W$ le nombre de boules blanches tirées parmi 4. - $P(X=100) = P(W=3)$ (3 blanches, 1 noire) - $P(X=-100) = P(W < 2)$ (plus de noires que de blanches signifie $W=0$ ou $W=1$) - $P(X=0) = P(W=2)$ (égalité ou autres cas) 5. **Calcul des probabilités de $W$ :** La loi de $W$ est hypergéométrique avec $N=10$ boules (6 blanches, 4 noires), $n=4$ tirées. $$P(W=k) = \frac{\binom{6}{k} \binom{4}{4-k}}{\binom{10}{4}}$$ Calculons : - $P(W=0) = \frac{\binom{6}{0} \binom{4}{4}}{\binom{10}{4}} = \frac{1 \times 1}{210} = \frac{1}{210}$ - $P(W=1) = \frac{\binom{6}{1} \binom{4}{3}}{210} = \frac{6 \times 4}{210} = \frac{24}{210} = \frac{8}{70}$ - $P(W=2) = \frac{\binom{6}{2} \binom{4}{2}}{210} = \frac{15 \times 6}{210} = \frac{90}{210} = \frac{3}{7}$ - $P(W=3) = \frac{\binom{6}{3} \binom{4}{1}}{210} = \frac{20 \times 4}{210} = \frac{80}{210} = \frac{8}{21}$ - $P(W=4) = \frac{\binom{6}{4} \binom{4}{0}}{210} = \frac{15 \times 1}{210} = \frac{1}{14}$ 6. **Probabilités de $X$ :** - $P(X=100) = P(W=3) = \frac{8}{21}$ - $P(X=-100) = P(W=0) + P(W=1) = \frac{1}{210} + \frac{8}{70} = \frac{1}{210} + \frac{24}{210} = \frac{25}{210} = \frac{5}{42}$ - $P(X=0) = 1 - P(X=100) - P(X=-100) = 1 - \frac{8}{21} - \frac{5}{42} = \frac{42}{42} - \frac{16}{42} - \frac{5}{42} = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$ 7. **Calcul de l'espérance mathématique $E(X)$ :** $$E(X) = (-100) \times \frac{5}{42} + 0 \times \frac{1}{2} + 100 \times \frac{8}{21} = -\frac{500}{42} + 0 + \frac{800}{42} = \frac{300}{42} = \frac{50}{7} \approx 7.14$$ 8. **Interprétation de l'espérance :** L'espérance positive signifie que, en moyenne, le joueur gagne environ 7.14 francs par partie sur le long terme. Le jeu est donc favorable au joueur.