1. **Énoncé du problème :** On a une urne avec 9 boules : 4 noires, 2 rouges, 3 vertes. On tire 4 boules simultanément. On doit déterminer le nombre de cas favorables pour les événements : A : au moins une boule verte tirée. B : au moins deux boules vertes tirées. C : aucune boule noire tirée. D : une rouge, puis deux noires, puis une verte (ordre non précisé, mais tirage simultané donc on compte combinaisons correspondantes). 2. **Formule utilisée :** Le nombre total de tirages de 4 boules parmi 9 est $$\binom{9}{4} = \frac{9!}{4!5!} = 126.$$ Pour chaque événement, on calcule le nombre de cas favorables en combinant les boules selon la contrainte. 3. **Calculs :** - A : Au moins une verte. Nombre de cas favorables = total - cas sans vertes. Cas sans vertes = choisir 4 boules parmi les 6 non-vertes (4 noires + 2 rouges) : $$\binom{6}{4} = 15.$$ Donc cas favorables A = $$126 - 15 = 111.$$ - B : Au moins deux vertes. On calcule la somme des cas avec exactement 2, 3 vertes (4 vertes impossible car il y en a que 3). Exactement 2 vertes : choisir 2 vertes parmi 3 et 2 non-vertes parmi 6 : $$\binom{3}{2} \times \binom{6}{2} = 3 \times 15 = 45.$$ Exactement 3 vertes : choisir 3 vertes parmi 3 et 1 non-verte parmi 6 : $$\binom{3}{3} \times \binom{6}{1} = 1 \times 6 = 6.$$ Total cas favorables B = $$45 + 6 = 51.$$ - C : Aucune noire. Choisir 4 boules parmi les 5 non-noires (2 rouges + 3 vertes) : $$\binom{5}{4} = 5.$$ - D : Une rouge, deux noires, une verte. Choisir 1 rouge parmi 2, 2 noires parmi 4, 1 verte parmi 3 : $$\binom{2}{1} \times \binom{4}{2} \times \binom{3}{1} = 2 \times 6 \times 3 = 36.$$ 4. **Interprétation :** Ces nombres représentent les cas favorables pour chaque événement dans un tirage simultané de 4 boules. --- **Réponse finale :** - Cas favorables A = 111 - Cas favorables B = 51 - Cas favorables C = 5 - Cas favorables D = 36