1. **Énoncé du problème :** Nous avons un QI qui suit une loi normale $\mathcal{N}(100, 15^2)$. On cherche la proportion d'enfants avec un QI inférieur à 70, ce qui correspond à un retard mental léger. 2. **Formule et règles importantes :** Pour une variable normale $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, on standardise avec $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$. 3. **Calcul de $P(X < 70)$ :** Standardisation : $$Z = \frac{70 - 100}{15} = \frac{-30}{15} = -2$$ On cherche $P(Z < -2)$. 4. **Interprétation :** La probabilité $P(Z < -2)$ correspond à la proportion d'enfants avec un QI inférieur à 70. D'après la table de la loi normale centrée réduite, $P(Z < -2) \approx 0.0228$ soit 2.28 %. 5. **Base du retard mental léger :** Le retard mental léger est défini comme un QI inférieur à 70, soit environ 2.28 % de la population, ce qui correspond à $\mu - 2\sigma$ (deux écarts-types en dessous de la moyenne). --- 6. **Calcul de $P(X > 120)$ :** Standardisation : $$Z = \frac{120 - 100}{15} = \frac{20}{15} = 1.33$$ On cherche $P(Z > 1.33)$. 7. **Valeur approchée :** D'après la table, $P(Z > 1.33) \approx 0.0918$ soit 9.18 %. --- 8. **Problème avec 100 enfants :** La proportion d'enfants précoces est $p = 0.0918$. On modélise le nombre d'enfants précoces par une variable binomiale $B(n=100, p=0.0918)$. 9. **Approximation normale :** La moyenne est $np = 9.18$ et l'écart-type $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0.0918 \times 0.9082} \approx 2.88$. 10. **Intervalle pour le pourcentage entre 7 % et 9 % :** On cherche $P(7 \leq X \leq 9)$ où $X$ est le nombre d'enfants précoces. Convertissons en variable normale standardisée : $$Z_1 = \frac{7 - 9.18}{2.88} = -0.76, \quad Z_2 = \frac{9 - 9.18}{2.88} = -0.06$$ 11. **Probabilité correspondante :** $P(-0.76 \leq Z \leq -0.06) = \Phi(-0.06) - \Phi(-0.76) \approx 0.476 - 0.223 = 0.253$ soit 25.3 %. 12. **Probabilité que le pourcentage soit supérieur à 14 % :** 14 % correspond à 14 enfants. $$Z = \frac{14 - 9.18}{2.88} = 1.67$$ 13. **Calcul de la probabilité :** $P(X > 14) = P(Z > 1.67) = 1 - \Phi(1.67) \approx 1 - 0.9525 = 0.0475$ soit 4.75 %. --- 14. **Intervalle de fluctuation à 95 % pour 400 enfants :** Pour $n=400$, $p=0.0918$. Moyenne : $np = 400 \times 0.0918 = 36.72$. Écart-type : $\sigma = \sqrt{400 \times 0.0918 \times 0.9082} \approx 5.76$. 15. **Intervalle à 95 % :** $$[np - 1.96\sigma, np + 1.96\sigma] = [36.72 - 1.96 \times 5.76, 36.72 + 1.96 \times 5.76]$$ $$= [36.72 - 11.29, 36.72 + 11.29] = [25.43, 48.01]$$ 16. **En pourcentage :** $$\left[\frac{25.43}{400}, \frac{48.01}{400}\right] = [0.0636, 0.1200] = [6.36\%, 12.00\%]$$ **Réponse finale :** - Proportion d'enfants avec QI < 70 : environ 2.28 %. - Probabilité qu'un enfant ait un QI > 120 : environ 9.18 %. - Pour 100 enfants, probabilité que le % d'enfants précoces soit entre 7 % et 9 % est environ 25.3 %. - Pour 100 enfants, probabilité que le % d'enfants précoces soit supérieur à 14 % est environ 4.75 %. - Pour 400 enfants, l'intervalle de fluctuation à 95 % du pourcentage d'enfants précoces est environ $[6.36\%, 12.00\%]$.