1. Énoncé du problème : Nous avons un graphe orienté avec 5 sommets (pages) numérotés de 1 à 5. Nous devons construire la matrice de transition $T$ où chaque élément $t_{ij}$ représente la probabilité de passer de la page $j$ à la page $i$ en un clic. 2. Rappel de la définition : Pour chaque colonne $j$, la somme des probabilités $t_{ij}$ (pour tous $i$) doit être égale à 1 car on doit partir de la page $j$ et aller vers une page $i$. 3. Analyse des arcs sortants de chaque page (colonne) : - Page 1 : arcs vers 2 et 3 - Page 2 : arcs vers 1, 3 et 5 - Page 3 : arcs vers 1, 2 et 5 - Page 4 : arc vers 1 - Page 5 : arcs vers 2, 3 et 4 4. Calcul des probabilités : Pour chaque page $j$, la probabilité de passer vers une page $i$ est $\frac{1}{\text{nombre d'arcs sortants de } j}$ si l'arc $(j \to i)$ existe, sinon 0. 5. Construction de la matrice $T$ : - Colonne 1 (page 1) : arcs vers 2 et 3, donc $t_{21} = t_{31} = \frac{1}{2}$, les autres 0. - Colonne 2 (page 2) : arcs vers 1, 3, 5, donc $t_{12} = t_{32} = t_{52} = \frac{1}{3}$, les autres 0. - Colonne 3 (page 3) : arcs vers 1, 2, 5, donc $t_{13} = t_{23} = t_{53} = \frac{1}{3}$, les autres 0. - Colonne 4 (page 4) : arc vers 1, donc $t_{14} = 1$, les autres 0. - Colonne 5 (page 5) : arcs vers 2, 3, 4, donc $t_{25} = t_{35} = t_{45} = \frac{1}{3}$, les autres 0. 6. Matrice finale $T$ : $$ T = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Chaque colonne somme à 1, ce qui confirme que $T$ est une matrice de transition valide.