1. Énoncé de l'exercice probabilités. L'université propose trois filières A, B, C et on sait que l'effectif de A est le double de celui de B et que l'effectif de B est le triple de celui de C. On donne $P(F\mid A)=0.30$, $P(F\mid B)=0.10$, $P(F\mid C)=0.40$ où $F$ est l'événement "être fille". 2. Calcul des probabilités des filières. On pose $\text{effectif de }C=x$. Alors $\text{effectif de }B=3x$ et $\text{effectif de }A=2\times 3x=6x$. L'effectif total vaut $x+3x+6x=10x$. Donc $P(C)=\dfrac{x}{10x}=\dfrac{1}{10}$. Ainsi $P(B)=\dfrac{3x}{10x}=\dfrac{3}{10}$ et $P(A)=\dfrac{6x}{10x}=\dfrac{3}{5}$. 3. Arbre pondéré (description). Racine puis trois branches A, B, C avec probabilités $P(A)=\dfrac{3}{5}$, $P(B)=\dfrac{3}{10}$, $P(C)=\dfrac{1}{10}$. Chaque branche a deux sous-branches F et G avec probabilités conditionnelles données. 4. Probabilité que l'étudiant soit dans A et soit une fille. $P(A\cap F)=P(A)\times P(F\mid A)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{10}=\dfrac{9}{50}=0.18$. 5. Probabilité de F (formule des probabilités totales). $P(F)=P(A)P(F\mid A)+P(B)P(F\mid B)+P(C)P(F\mid C)$. En remplaçant on obtient $P(F)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{10}\times\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}\times\dfrac{4}{10}$. Calculons en centièmes: $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{10}=\dfrac{9}{50}=\dfrac{18}{100}$, $\dfrac{3}{10}\times\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{100}$, $\dfrac{1}{10}\times\dfrac{4}{10}=\dfrac{4}{100}$. Donc $P(F)=\dfrac{18+3+4}{100}=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}=0.25$. 6. Résultats principaux de l'exercice probabilités. $P(C)=\dfrac{1}{10}$. $P(B)=\dfrac{3}{10}$. $P(A)=\dfrac{3}{5}$. $P(A\cap F)=\dfrac{9}{50}=0.18$. $P(F)=\dfrac{1}{4}=0.25$. 7. Exercice fonction $f$ — énoncé. On considère $f(x)=\dfrac{3x^{2}+2x+1}{x^{2}+1}$ définie sur $\mathbb{R}$. 8. Domaine de définition et interprétation graphique. Le dénominateur $x^{2}+1$ est strictement positif pour tout $x\in\mathbb{R}$, donc le domaine de définition est $\mathbb{R}$. Graphiquement la courbe est définie pour toutes les abscisses réelles. 9. Limites en $-1$ et valeur en $-1$. $f(-1)=\dfrac{3(-1)^{2}+2(-1)+1}{(-1)^{2}+1}=\dfrac{3-2+1}{1+1}=\dfrac{2}{2}=1$. La fonction est continue en $-1$ donc les limites à gauche et à droite en $-1$ valent $1$. Graphiquement la courbe passe par le point $(-1,1)$. 10. Limites en $\pm\infty$ et en $4$. Pour $x\to\pm\infty$ les termes de plus haut degré dominent, donc $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\dfrac{3x^{2}}{x^{2}}=3$. La droite horizontale $y=3$ est une asymptote horizontale. Pour $x=4$ on calcule $f(4)=\dfrac{3\times 16+2\times 4+1}{16+1}=\dfrac{48+8+1}{17}=\dfrac{57}{17}\approx 3.3529$. 11. Dérivée et simplification (justification donnée). Par la règle du quotient on a $$f'(x)=\dfrac{(6x+2)(x^{2}+1)-(3x^{2}+2x+1)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}.$$ On développe et simplifie le numérateur. Le numérateur devient $6x^{3}+6x+2x^{2}+2-(6x^{3}+4x^{2}+2x)$. En simplifiant on obtient $-3x^{2}+2x+1$. Donc $$f'(x)=\dfrac{-3x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)^{2}}.$$ 12. Zéros du numérateur et étude du signe. Étudions $N(x)=-3x^{2}+2x+1$ ou équivalemment $3x^{2}-2x-1=0$. Le discriminant est $\Delta=(-2)^{2}-4\times 3\times(-1)=4+12=16$. Les racines sont $x=\dfrac{2\pm 4}{6}$ soit $x=1$ et $x=-\dfrac{1}{3}$. Comme le coefficient devant $x^{2}$ dans $N$ est $-3<0$, $N$ est positif sur $\left]-\dfrac{1}{3},1\right[$ et négatif ailleurs. Donc $f$ est décroissante sur $(-\infty,-\dfrac{1}{3}]$, croissante sur $[-\dfrac{1}{3},1]$ et décroissante sur $[1,+\infty)$. 13. Valeurs en les points critiques et tableau de variations (description). $f(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{3(\frac{1}{9})+2(-\dfrac{1}{3})+1}{(\frac{1}{9})+1}=\dfrac{\frac{1}{3}-\dfrac{2}{3}+1}{\frac{10}{9}}=\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}}=\dfrac{3}{5}=0.6$. $f(1)=\dfrac{3+2+1}{1+1}=\dfrac{6}{2}=3$. Ainsi $f$ admet un minimum local $\dfrac{3}{5}$ en $x=-\dfrac{1}{3}$ et un maximum local $3$ en $x=1$. Le tableau de variations correspond à la décroissance jusqu'à $-\dfrac{1}{3}$, puis croissance jusqu'à $1$, puis décroissance vers 3 à l'infini. 14. Remarques sur la bijection et la fonction $h$ (ambiguïté de l'énoncé). L'énoncé fournit une fonction $h$ définie sur $]-1;0,18[$ sans préciser explicitement la formule de $h$ : si l'on prend $h$ comme la restriction $h=f_{|]-1;0.18[}$, alors $h$ n'est pas bijective car $f'$ change de signe en $x=-\dfrac{1}{3}$ et l'intervalle $]-1;0.18[$ contient ce point. De plus l'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution réelle car le numérateur $3x^{2}+2x+1$ a un discriminant $4-12=-8<0$ donc est strictement positif pour tout $x$, et le dénominateur est strictement positif ; ainsi $f(x)>0$ pour tout $x$. Par conséquent il n'existe pas de $a$ tel que $f(a)=0$ et l'affirmation d'une unique solution dans $]-1;0.18[$ est incompatible avec la définition $h=f$. Si l'énoncé visait une bijection il faudrait redéfinir $h$ sur un intervalle où $f$ est monotone, par exemple $\left]-\infty,-\dfrac{1}{3}\right]$ ou $\left[-\dfrac{1}{3},1\right]$, et alors $K=f(\text{intervalle})$ serait l'image correspondante. 15. Sur l'asymptote proposée et la décomposition (remarque). En effectuant la division on obtient $\dfrac{3x^{2}+2x+1}{x^{2}+1}=3+\dfrac{2x-2}{x^{2}+1}$. Donc l'asymptote horizontale est $y=3$ et non $y=-3x+4$ ; l'affirmation que $y=-3x+4$ serait une asymptote linéaire est contradictoire avec le calcul précédent. 16. Exercice télévision — énoncé et question. On sait que 50 pour cent des téléspectateurs ont regardé le match et que 16.7 pour cent des téléspectateurs ont regardé l'émission d'analyse. On demande le pourcentage de téléspectateurs qui n'ont pas regardé l'émission. 17. Calcul simple du pourcentage qui n'ont pas regardé l'émission. Si 16.7 pour cent ont regardé l'émission alors la proportion qui n'a pas regardé est $100-16.7=83.3$. Donc 83.3 pour cent des téléspectateurs n'ont pas regardé l'émission. 18. Conclusion résumée des réponses principales. Probabilités des filières : $P(A)=\dfrac{3}{5}$, $P(B)=\dfrac{3}{10}$, $P(C)=\dfrac{1}{10}$. $P(A\cap F)=\dfrac{9}{50}=0.18$. $P(F)=\dfrac{1}{4}=0.25$. Pour la fonction $f$ : domaine $\mathbb{R}$, limites en $\pm\infty$ égales à $3$, valeur en $-1$ égale à $1$, $f'(x)=\dfrac{-3x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)^{2}}$, minimum local $\dfrac{3}{5}$ en $x=-\dfrac{1}{3}$, maximum local $3$ en $x=1$, asymptote horizontale $y=3$. Exercice télévision : 83.3 pour cent n'ont pas regardé l'émission.