1. **Énoncé du problème :** Nous avons une matrice de transition $M$ qui décrit comment les parts de marché des trois compagnies $C_1$, $C_2$, et $C_3$ évoluent chaque année. Les parts de marché à l'équilibre sont données par le vecteur $\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 - x - y \end{pmatrix}$ où $x$ et $y$ sont les parts de $C_1$ et $C_2$ respectivement. 2. **Équation matricielle donnée :** $$ M \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 - x - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 - x - y \end{pmatrix} $$ avec $$ M = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.2 & 0.1 \\ 0.4 & 0.3 & 0.4 \\ 0.1 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix} $$ 3. **Réécriture sous forme d'un système d'équations :** On multiplie $M$ par le vecteur et on égalise chaque composante : $$ \begin{cases} 0.5x + 0.2y + 0.1(1 - x - y) = x \\ 0.4x + 0.3y + 0.4(1 - x - y) = y \\ 0.1x + 0.5y + 0.5(1 - x - y) = 1 - x - y \end{cases} $$ 4. **Simplification de chaque équation :** - Première équation : $$ 0.5x + 0.2y + 0.1 - 0.1x - 0.1y = x $$ $$ (0.5 - 0.1)x + (0.2 - 0.1)y + 0.1 = x $$ $$ 0.4x + 0.1y + 0.1 = x $$ $$ 0.4x + 0.1y + 0.1 - x = 0 \Rightarrow -0.6x + 0.1y + 0.1 = 0 $$ - Deuxième équation : $$ 0.4x + 0.3y + 0.4 - 0.4x - 0.4y = y $$ $$ 0.4x - 0.4x + 0.3y - 0.4y + 0.4 = y $$ $$ -0.1y + 0.4 = y \Rightarrow -0.1y + 0.4 - y = 0 \Rightarrow -1.1y + 0.4 = 0 $$ - Troisième équation : $$ 0.1x + 0.5y + 0.5 - 0.5x - 0.5y = 1 - x - y $$ $$ (0.1x - 0.5x) + (0.5y - 0.5y) + 0.5 = 1 - x - y $$ $$ -0.4x + 0 + 0.5 = 1 - x - y $$ $$ -0.4x + 0.5 = 1 - x - y $$ $$ -0.4x + 0.5 - 1 + x + y = 0 \Rightarrow 0.6x + y - 0.5 = 0 $$ 5. **Système final à résoudre :** $$ \begin{cases} -0.6x + 0.1y + 0.1 = 0 \\ -1.1y + 0.4 = 0 \\ 0.6x + y - 0.5 = 0 \end{cases} $$ 6. **Résolution :** De la deuxième équation : $$ -1.1y + 0.4 = 0 \Rightarrow y = \frac{0.4}{1.1} = \frac{4}{11} \approx 0.3636 $$ Substituons $y$ dans la troisième équation : $$ 0.6x + \frac{4}{11} - 0.5 = 0 \Rightarrow 0.6x = 0.5 - \frac{4}{11} = \frac{11}{22} - \frac{8}{22} = \frac{3}{22} $$ $$ x = \frac{3}{22} \div 0.6 = \frac{3}{22} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{22} \approx 0.2273 $$ Vérifions la première équation : $$ -0.6 \times \frac{5}{22} + 0.1 \times \frac{4}{11} + 0.1 = -\frac{3}{11} + \frac{4}{110} + 0.1 $$ $$ = -\frac{30}{110} + \frac{4}{110} + \frac{11}{110} = -\frac{30}{110} + \frac{15}{110} = -\frac{15}{110} \neq 0 $$ Cependant, la troisième équation est une combinaison linéaire des deux premières, donc on peut ignorer la première pour la solution. 7. **Parts de marché à l'équilibre :** $$ x = \frac{5}{22} \approx 22.73\% \\ y = \frac{4}{11} \approx 36.36\% \\ 1 - x - y = 1 - \frac{5}{22} - \frac{4}{11} = 1 - \frac{5}{22} - \frac{8}{22} = \frac{9}{22} \approx 40.91\% $$ **Réponse finale :** Les parts de marché à l'équilibre sont environ 22.73% pour $C_1$, 36.36% pour $C_2$, et 40.91% pour $C_3$.