1. Problema 3: Um saco contém bolas amarelas e verdes. Retiram-se duas bolas sucessivamente sem reposição. Sejam A: a primeira bola é amarela, B: a segunda bola é amarela. Sabe-se que $P(A \cap B) = \frac{2}{3} P(A)$. Justifique que o número inicial de bolas amarelas é ímpar. 2. Seja $n$ o número total de bolas e $k$ o número de bolas amarelas. 3. A probabilidade de a primeira bola ser amarela é $P(A) = \frac{k}{n}$. 4. A probabilidade de a segunda bola ser amarela dado que a primeira foi amarela é $P(B|A) = \frac{k-1}{n-1}$. 5. Assim, $P(A \cap B) = P(A) P(B|A) = \frac{k}{n} \times \frac{k-1}{n-1}$. 6. Dado que $P(A \cap B) = \frac{2}{3} P(A)$, temos: $$\frac{k}{n} \times \frac{k-1}{n-1} = \frac{2}{3} \times \frac{k}{n}$$ 7. Cancelando $\frac{k}{n}$ (assumindo $k>0$), obtemos: $$\frac{k-1}{n-1} = \frac{2}{3}$$ 8. Multiplicando cruzado: $$3(k-1) = 2(n-1)$$ $$3k - 3 = 2n - 2$$ $$3k - 2n = 1$$ 9. Como $n$ e $k$ são inteiros, $3k - 2n = 1$ implica que $3k$ é ímpar, logo $k$ é ímpar. --- 10. Problema 4: Dados $P(A)$, $P(B)$ e $P(A \cap B)$ com: - $0 < P(A) < 1$, $0 < P(B) < 1$ - $P(A \cap B) = 9 P(A \cap B)$ (provavelmente erro de digitação, assumimos $P(A \cap B) = 9 P(A \cap B^c)$) - $P(A) = 3 P(B)$ 11. Queremos $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. 12. Assumindo $P(A \cap B) = 9 P(A \cap B^c)$, e usando $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$: $$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c) = P(A \cap B) + \frac{1}{9} P(A \cap B) = \frac{10}{9} P(A \cap B)$$ 13. Logo: $$P(A \cap B) = \frac{9}{10} P(A)$$ 14. Como $P(A) = 3 P(B)$, temos: $$P(B) = \frac{P(A)}{3}$$ 15. Portanto: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{9}{10} P(A)}{\frac{P(A)}{3}} = \frac{9}{10} \times 3 = \frac{27}{10}$$ 16. Como probabilidade não pode ser maior que 1, há um erro na hipótese. Se $P(A \cap B) = 9 P(A \cap B)$ é um erro, sem mais dados não é possível resolver. --- 17. Problema 5: Audições com violinistas e flautistas. - $\frac{3}{5}$ são violinistas - número de estrangeiros = número de portugueses - $\frac{3}{10}$ dos estrangeiros são flautistas 18. Queremos $P(Português | Violinista)$. 19. Seja $N$ total de candidatos, então: - Violinistas: $\frac{3}{5} N$ - Flautistas: $\frac{2}{5} N$ 20. Estrangeiros = Portugueses = $\frac{N}{2}$ cada. 21. Estrangeiros flautistas: $\frac{3}{10} \times \frac{N}{2} = \frac{3N}{20}$ 22. Estrangeiros violinistas: $\frac{N}{2} - \frac{3N}{20} = \frac{10N}{20} - \frac{3N}{20} = \frac{7N}{20}$ 23. Portugueses flautistas: $\frac{2}{5} N - \frac{3N}{20} = \frac{8N}{20} - \frac{3N}{20} = \frac{5N}{20} = \frac{N}{4}$ 24. Portugueses violinistas: $\frac{N}{2} - \frac{N}{4} = \frac{N}{4}$ 25. Total violinistas: $\frac{3}{5} N = \frac{12N}{20}$ 26. Probabilidade de ser português dado violinista: $$P(Português|Violinista) = \frac{\text{Portugueses violinistas}}{\text{Total violinistas}} = \frac{\frac{N}{4}}{\frac{12N}{20}} = \frac{\frac{5N}{20}}{\frac{12N}{20}} = \frac{5}{12}$$ --- 27. Problema 9: Passageiros de avião. - 70% nunca viajaram de avião - 2/5 já estiveram em Faro - metade dos que estiveram em Faro já viajaram de avião 28. Queremos $P$(primeira viagem de avião | primeiro passageiro a sair nunca esteve em Faro). 29. Definindo eventos: - $V$: já viajou de avião - $F$: já esteve em Faro 30. Dados: $$P(V^c) = 0.7$$ $$P(F) = \frac{2}{5} = 0.4$$ $$P(V|F) = \frac{1}{2}$$ 31. Calculamos $P(V)$: $$P(V) = 1 - 0.7 = 0.3$$ 32. Calculamos $P(F^c) = 1 - 0.4 = 0.6$ 33. Queremos $P(V^c | F^c)$, pois o passageiro nunca esteve em Faro e queremos que seja a primeira viagem (não viajou antes). 34. Usando fórmula da probabilidade total: $$P(V^c) = P(V^c|F)P(F) + P(V^c|F^c)P(F^c)$$ 35. Sabemos $P(V^c|F) = 1 - P(V|F) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 36. Substituindo: $$0.7 = \frac{1}{2} \times 0.4 + P(V^c|F^c) \times 0.6$$ $$0.7 = 0.2 + 0.6 P(V^c|F^c)$$ 37. Isolando $P(V^c|F^c)$: $$0.6 P(V^c|F^c) = 0.5$$ $$P(V^c|F^c) = \frac{0.5}{0.6} = \frac{5}{6}$$ --- 38. Problema 10: Torneio de jogos matemáticos. - metade jogou Semáforo: $P(S) = \frac{1}{2}$ - um quarto não jogou Rastros: $P(R^c) = \frac{1}{4}$ - um quinto dos que não jogaram Rastros jogou Semáforo: $P(S|R^c) = \frac{1}{5}$ 39. Queremos $P(S^c \cap R)$. 40. Usando $P(R) = 1 - P(R^c) = \frac{3}{4}$ 41. $P(S \cap R^c) = P(S|R^c) P(R^c) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$ 42. $P(S) = P(S \cap R) + P(S \cap R^c) = \frac{1}{2}$ 43. Logo: $$P(S \cap R) = P(S) - P(S \cap R^c) = \frac{1}{2} - \frac{1}{20} = \frac{10}{20} - \frac{1}{20} = \frac{9}{20}$$ 44. Queremos $P(S^c \cap R) = P(R) - P(S \cap R) = \frac{3}{4} - \frac{9}{20} = \frac{15}{20} - \frac{9}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ --- 45. Problema 11: Espaço amostral $\Omega$, eventos $A, B$ com: - $P(A) \neq 0$ - $P(B) = \frac{3}{2} P(A)$ - $P(B|A) = \frac{1}{2}$ 46. Mostrar que: $$P(A \cap B) + 2 P(A) = 1$$ 47. Sabemos: $$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{2} P(A)$$ 48. Substituindo: $$P(A \cap B) + 2 P(A) = \frac{1}{2} P(A) + 2 P(A) = \frac{5}{2} P(A)$$ 49. Para que $\frac{5}{2} P(A) = 1$, deve ser: $$P(A) = \frac{2}{5}$$ 50. Como $P(B) = \frac{3}{2} P(A) = \frac{3}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$, e $P(A) + P(B) \leq 1$ não é obrigatório, mas a soma $P(A \cap B) + 2 P(A) = 1$ é satisfeita para $P(A) = \frac{2}{5}$. --- 51. Problema 12: Clube com sócios que praticam badminton ou ténis. - Cada sócio pratica uma modalidade só - 65% são mulheres - $\frac{1}{7}$ dos homens pratica badminton - $\frac{5}{6}$ dos praticantes de badminton são mulheres 52. Queremos $P$(mulher que pratica ténis). 53. Seja $N$ total de sócios. 54. Mulheres: $0.65 N$, Homens: $0.35 N$ 55. Homens que praticam badminton: $\frac{1}{7} \times 0.35 N = 0.05 N$ 56. Total praticantes de badminton: $B$. 57. Mulheres que praticam badminton: $\frac{5}{6} B$. 58. Homens que praticam badminton: $\frac{1}{6} B = 0.05 N$ (do passo 55) 59. Logo: $$B = 6 \times 0.05 N = 0.3 N$$ 60. Mulheres que praticam badminton: $$\frac{5}{6} \times 0.3 N = 0.25 N$$ 61. Mulheres que praticam ténis: $$0.65 N - 0.25 N = 0.4 N$$ 62. Probabilidade de escolher uma mulher que pratica ténis: $$\frac{0.4 N}{N} = 0.4 = 40\%$$