1. **Enunciado do problema:** Uma empresa tem 7 fiscais, 2 mulheres (F, G) e 5 homens (A, B, C, D, E). Selecionam-se ao acaso 2 fiscais para visitar uma obra. A variável aleatória $Y$ é o número de mulheres selecionadas. 2. **Definir o espaço amostral:** O espaço amostral consiste em todas as combinações de 2 fiscais entre os 7, sem ordem, pois a seleção é ao acaso. Os elementos são: $$\{AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE, AF, AG, BF, BG, CF, CG, DF, DG, EF, EG, FG\}$$ Aqui, $A,B,C,D,E$ são homens e $F,G$ são mulheres. 3. **Definir o valor da variável aleatória $Y$ para cada elemento:** - $Y=0$ se nenhum mulher for selecionada: pares formados só por homens: $$\{AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE\}$$ - $Y=1$ se uma mulher for selecionada: pares com exatamente uma mulher: $$\{AF, AG, BF, BG, CF, CG, DF, DG, EF, EG\}$$ - $Y=2$ se as duas selecionadas forem mulheres: $$\{FG\}$$ 4. **Função de probabilidade $P(Y=y)$:** Número total de pares: $\binom{7}{2} = 21$ - $P(Y=0) = \frac{10}{21}$ - $P(Y=1) = \frac{10}{21}$ - $P(Y=2) = \frac{1}{21}$ Tabela da função de probabilidade: | $y$ | 0 | 1 | 2 | |-----|---|---|---| | $P(Y=y)$ | $\frac{10}{21}$ | $\frac{10}{21}$ | $\frac{1}{21}$ | 5. **Função de distribuição acumulada $F(y) = P(Y \leq y)$:** | $y$ | 0 | 1 | 2 | |-----|---|---|---| | $F(y)$ | $\frac{10}{21}$ | $\frac{20}{21}$ | 1 | 6. **Cálculo do valor esperado $E(Y)$:** $$E(Y) = 0 \times \frac{10}{21} + 1 \times \frac{10}{21} + 2 \times \frac{1}{21} = 0 + \frac{10}{21} + \frac{2}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7} \approx 0.5714$$ 7. **Cálculo do desvio padrão $\sigma_Y$:** Primeiro, $E(Y^2)$: $$E(Y^2) = 0^2 \times \frac{10}{21} + 1^2 \times \frac{10}{21} + 2^2 \times \frac{1}{21} = 0 + \frac{10}{21} + \frac{4}{21} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$$ Variância: $$Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = \frac{2}{3} - \left(\frac{4}{7}\right)^2 = \frac{2}{3} - \frac{16}{49} = \frac{98}{147} - \frac{48}{147} = \frac{50}{147} \approx 0.3401$$ Desvio padrão: $$\sigma_Y = \sqrt{Var(Y)} = \sqrt{\frac{50}{147}} \approx 0.5836$$