1. Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade $f(x) = \frac{x^2}{10}$ para $x = -2,-1,1,2$ e zero para outros valores. (a) Calcular o desvio padrão de X. 2. A média da distribuição de Poisson para novos casos de Covid-19 é 12 por hora. (a) Calcular a probabilidade de pelo menos 20 casos em duas horas. 3. O consumo diário de Sem-Covid é normal com média 1600 ml e desvio padrão 200 ml. (a) Calcular a quantidade mínima para os 20% dias com maior consumo. --- ### Problema 1(a): Desvio padrão de X 1. Calcular a média $E(X)$: $$E(X) = \sum x f(x) = (-2)\frac{4}{10} + (-1)\frac{1}{10} + 1\frac{1}{10} + 2\frac{4}{10} = -\frac{8}{10} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{8}{10} = 0$$ 2. Calcular $E(X^2)$: $$E(X^2) = \sum x^2 f(x) = 4\frac{4}{10} + 1\frac{1}{10} + 1\frac{1}{10} + 4\frac{4}{10} = \frac{16}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{16}{10} = \frac{34}{10} = 3.4$$ 3. Variância $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3.4 - 0^2 = 3.4$ 4. Desvio padrão $\sigma = \sqrt{3.4} \approx 1.8439$ ### Problema 1(b): Função de distribuição acumulada (CDF) $F(x)$ 1. Definir $F(x) = P(X \leq x)$ para os valores de $x$: - Para $x < -2$, $F(x) = 0$ - Para $-2 \leq x < -1$, $F(x) = P(X=-2) = \frac{4}{10} = 0.4$ - Para $-1 \leq x < 1$, $F(x) = P(X=-2) + P(X=-1) = 0.4 + 0.1 = 0.5$ - Para $1 \leq x < 2$, $F(x) = 0.5 + 0.1 = 0.6$ - Para $x \geq 2$, $F(x) = 0.6 + 0.4 = 1$ ### Problema 2(a): Poisson com média $\lambda = 12$ por hora, para 2 horas $\lambda_t = 24$ 1. Calcular $P(X \geq 20)$ para $X \sim Poisson(24)$: $$P(X \geq 20) = 1 - P(X \leq 19) = 1 - \sum_{k=0}^{19} \frac{e^{-24} 24^k}{k!}$$ 2. Usando tabela ou software, $P(X \leq 19) \approx 0.1301$ 3. Logo, $P(X \geq 20) \approx 1 - 0.1301 = 0.8699$ ### Problema 2(b): Tempo até o próximo caso segue distribuição exponencial com taxa $\lambda = 12$ por hora 1. Converter minutos para horas: 5 minutos = $\frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ horas, 10 minutos = $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ horas 2. Calcular $P(\frac{1}{12} \leq T \leq \frac{1}{6})$ para $T \sim Exp(12)$: $$P(a \leq T \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$$ 3. Substituir valores: $$= e^{-12 \times \frac{1}{12}} - e^{-12 \times \frac{1}{6}} = e^{-1} - e^{-2} \approx 0.3679 - 0.1353 = 0.2326$$ ### Problema 3(a): Quantidade mínima para os 20% dias com maior consumo 1. A distribuição é normal $N(\mu=1600, \sigma=200)$ 2. Procurar o percentil 80 (quantil 0.8) pois 20% maiores valores correspondem a $P(X \geq x) = 0.2$ 3. Usar tabela normal padrão para $z_{0.8} \approx 0.8416$ 4. Calcular valor: $$x = \mu + z \sigma = 1600 + 0.8416 \times 200 = 1600 + 168.32 = 1768.32$$ ### Problema 3(b): Probabilidade de em 7 dias, pelo menos 4 dias com consumo $>1500$ ml 1. Calcular $p = P(X > 1500)$ para $X \sim N(1600,200)$ 2. Calcular $z$ para 1500: $$z = \frac{1500 - 1600}{200} = -0.5$$ 3. $P(X > 1500) = 1 - P(Z \leq -0.5) = 1 - 0.3085 = 0.6915$ 4. Definir $Y$ = número de dias com consumo $>1500$ em 7 dias, $Y \sim Binomial(n=7, p=0.6915)$ 5. Calcular $P(Y \geq 4) = 1 - P(Y \leq 3) = 1 - \sum_{k=0}^3 \binom{7}{k} p^k (1-p)^{7-k}$ 6. Calculando a soma: $$P(Y \leq 3) \approx 0.1497$$ 7. Logo, $$P(Y \geq 4) = 1 - 0.1497 = 0.8503$$ --- **Respostas finais:** 1(a) Desvio padrão $\approx 1.8439$ 1(b) Função distribuição acumulada: $$F(x) = \begin{cases} 0 & x < -2 \\ 0.4 & -2 \leq x < -1 \\ 0.5 & -1 \leq x < 1 \\ 0.6 & 1 \leq x < 2 \\ 1 & x \geq 2 \end{cases}$$ 2(a) $P(X \geq 20) \approx 0.8699$ 2(b) $P(5 \leq T \leq 10 \text{ minutos}) \approx 0.2326$ 3(a) Quantidade mínima para 20% maiores dias $\approx 1768.32$ ml 3(b) Probabilidade de pelo menos 4 dias com consumo $>1500$ ml em 7 dias $\approx 0.8503$