1. **Énoncé du problème :** Deux tensiomètres sont installés à des profondeurs de 0.4 m et 0.8 m dans le sol, reliés à un réservoir de mercure situé à 0.1 m au-dessus de la surface du sol. Les hauteurs de mercure dans les tubes sont respectivement 7.5 cm (0.075 m) et 9.0 cm (0.09 m). On cherche à : a) Dessiner le diagramme du potentiel matriciel en supposant que $H$ est linéaire avec $z$. b) Calculer la hauteur de la nappe phréatique. c) Déterminer le niveau du mercure dans les tubes à l'équilibre statique. 2. **Formule utilisée :** La hauteur $h$ est donnée par $$h = \frac{\rho_{Hg} - \rho_l}{\rho_l} + \Delta z_1 + \Delta z_2$$ avec $\rho_{Hg} = 13600\,kg/m^3$ la densité du mercure, $\rho_l$ la densité du liquide (eau), et $\Delta z_1$, $\Delta z_2$ les hauteurs mesurées dans les tensiomètres. 3. **Données importantes :** - Profondeur tensiomètre 1 : $z_1 = 0.4\,m$ - Profondeur tensiomètre 2 : $z_2 = 0.8\,m$ - Niveau mercure réservoir : $0.1\,m$ au-dessus du sol - Hauteur mercure tensiomètre 1 : $h_1 = 0.075\,m$ - Hauteur mercure tensiomètre 2 : $h_2 = 0.09\,m$ - Densité eau $\rho_l \approx 1000\,kg/m^3$ 4. **a) Diagramme du potentiel matriciel :** Le potentiel matriciel $H$ varie linéairement avec la profondeur $z$, donc on peut tracer une droite décroissante entre les profondeurs 0.4 m et 0.8 m avec les valeurs correspondantes de $H$. 5. **b) Calcul de la hauteur de la nappe phréatique :** On calcule la différence de hauteur de mercure corrigée par la densité : $$h = \frac{\rho_{Hg} - \rho_l}{\rho_l} \times h_{Hg} + \Delta z$$ Pour chaque tensiomètre, on calcule la pression exercée par la colonne de mercure et on en déduit la hauteur de la nappe. Calcul pour tensiomètre 1 : $$h_1 = \frac{13600 - 1000}{1000} \times 0.075 + 0.4 = 12.6 \times 0.075 + 0.4 = 0.945 + 0.4 = 1.345\,m$$ Calcul pour tensiomètre 2 : $$h_2 = 12.6 \times 0.09 + 0.8 = 1.134 + 0.8 = 1.934\,m$$ La hauteur de la nappe phréatique est la moyenne ou la valeur cohérente entre ces mesures, ici on peut considérer que la nappe est proche de $1.345\,m$ à $1.934\,m$ selon la profondeur. 6. **c) Niveau du mercure à l'équilibre statique :** À l'équilibre, la pression exercée par l'eau dans le sol est constante, donc les hauteurs de mercure dans les tubes doivent s'ajuster pour équilibrer cette pression. Le niveau de mercure dans les tubes sera tel que la pression hydrostatique dans les deux tubes soit égale, ce qui implique que la différence de hauteur de mercure compense la différence de profondeur. **Réponse finale :** - Diagramme : $H$ décroissant linéairement avec $z$. - Hauteur nappe phréatique estimée entre $1.345\,m$ et $1.934\,m$. - Niveau mercure tubes à l'équilibre ajusté pour égaliser la pression hydrostatique.