1. **Énoncé du problème** : Deux satellites S1 et S2 tournent autour de la Terre avec des vitesses angulaires respectives $\omega_1 = 9 \times 10^{-4}$ rad/s et $\omega_2 = 8 \times 10^{-4}$ rad/s. Ils sont initialement côte à côte sur le même rayon. On cherche : - 1) La durée après laquelle ils se retrouvent de nouveau côte à côte. - 2) La périodicité du phénomène et la période des rencontres. 2. **Calcul de la durée pour qu'ils soient de nouveau côte à côte** : Les satellites sont côte à côte lorsque leurs positions angulaires diffèrent d'un multiple de $2\pi$. La différence d'angle à l'instant $t$ est : $$\Delta \theta = |\omega_1 - \omega_2| t$$ Ils se retrouvent côte à côte lorsque : $$\Delta \theta = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{N}^*$$ La plus petite durée $T$ correspond à $k=1$ : $$T = \frac{2\pi}{|\omega_1 - \omega_2|}$$ Calculons : $$|\omega_1 - \omega_2| = |9 \times 10^{-4} - 8 \times 10^{-4}| = 1 \times 10^{-4} \text{ rad/s}$$ Donc : $$T = \frac{2\pi}{1 \times 10^{-4}} = 2\pi \times 10^{4} \approx 6.2832 \times 10^{4} \text{ s}$$ 3. **Périodicité du phénomène et période des rencontres** : Le phénomène est périodique car la différence angulaire varie linéairement avec le temps et revient à zéro modulo $2\pi$ à chaque multiple de $T$. La période des rencontres est donc : $$\boxed{T \approx 6.28 \times 10^{4} \text{ secondes}}$$ Ce qui correspond environ à 17 heures 27 minutes.